习题3.2PPT配套教学设计内容

选修2-1 3.2

立体几何中的向量方法（教案）

（第 2 课时）

【教学目标】

1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系；

2．能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理；

3．能用向量方法判断空间线面垂直关系. 【重点】

用向量方法判断空间线面垂直关系.

【难点】

用向量方法判断空间线面垂直关系.

【创设情景】

1.空间直线与平面平行与垂直的定义及判定. 2.直线的方向向量与平面的法向量的定义. 【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第

页～第 页）

1.方向向量和法向量可以确定直线和平面的位置,可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面的平行、垂直、夹角等位置关系.如图.

2.探究：(1)如上图(3),若直线l和平面所成的角为,你能用u,v能表示吗? (2)你能用直线的方向向量表示空间两条直线平行、垂直的关系以及它们之间的夹角吗？

（3）你能用平面的法向量表示空间两个平面平行、垂直的位置关系以及它们所成二面角的大小吗？

设直线l，m的方向向量是a,b,平面,的法向量u,v,则

l//ma//bakb（kR）；

lmabab0；

l//auau0；

la//uaku（kR）；

//u//vukv（kR）；

1

uvuv0. 【基础练习】

【典型例题】

例1 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）

已知：如图,OB是平面的斜线，O为斜足，AB，A为垂足，CD,CDOA

求证：CDOB

【审题要津】

证明：CDOACDOA0

ABCDABCDAB0

B D O A C OBOAAB

CDOBCD(OAAB)CDOACDAB0

CDAB

【方法总结】

例2 证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.（直线于平面垂直的判定定理）

已知：m,n,mnB，lm,ln.求证：l

【审题要津】

证明：在内任作一条直线g，在直线l,g,m,n上分别取向量l,m,n,g

gxmyn

所以lgl(xmyn)xlmyln

因为lm,ln

所以lm0,ln0

可得lg0

即lg

【方法总结】

例3 在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB900, BAC300,BC1,A1A6,M是CC1得中点.求证：A1BAM. 【审题要津】

证明：如图，建立空间坐标系

C1 z B1 l gα

mnA1 M

2 A C B y

A1(3,0,6),B(0,1,0),A(3,0,0),M(0,0,AM(3,0,6),A1B(3,1,6)

26)

2AMA1B0

【方法总结】用向量证明比几何方法证明简单、明了.

棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？

解：以D为原点建立如图所示的坐标系，

设存在点P（0，0，z），

AP=(-a,0,z)，AC=(-a,a,0)，DB1=(a,a,a)，

A1∵B1D⊥面PAC，∴DB1AP0，DB1AC0

∴－a2+az=0∴z=a，即点P与D1重合

∴点P与D1重合时，DB1⊥面PAC

D1B1PDzC1CBy

3 xA

选修2-1 3.2

立体几何中的向量方法（学案）

（第 2 课时）

【教学目标】

1．能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系；

2．能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理；

3．能用向量方法判断空间线面垂直关系. 【重点】

用向量方法判断空间线面垂直关系.

【难点】

用向量方法判断空间线面垂直关系.

【创设情景】

1.空间直线与平面平行与垂直的定义及判定. 2.直线的方向向量与平面的法向量的定义. 【预习提纲】

（根据以下提纲，预习教材第

页～第 页）

1.方向向量和法向量可以确定直线和平面的位置,可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面的平行、垂直、夹角等位置关系.如图.

2.探究：(1)如上图(3),若直线l和平面所成的角为,你能用u,v能表示吗? (2)你能用直线的方向向量表示空间两条直线平行、垂直的关系以及它们之间的夹角吗？

（3）你能用平面的法向量表示空间两个平面平行、垂直的位置关系以及它们所成二面角的大小吗？

设直线l，m的方向向量是a,b,平面,的法向量u,v,则

l//ma//bakb（kR）；

lmabab0；

l//auau0；

la//uaku（kR）；

//u//vukv（kR）；

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uvuv0. 【基础练习】

【典型例题】

例1 证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）

已知：如图,OB是平面的斜线，O为斜足，AB，A为垂足，CD,CDOA

求证：CDOB

【审题要津】

证明：CDOACDOA0

ABCDABCDAB0

B D O A C OBOAAB

CDOBCD(OAAB)CDOACDAB0

CDAB

【方法总结】

例2 证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面.（直线于平面垂直的判定定理）

已知：m,n,mnB，lm,ln.求证：l

【审题要津】

证明：在内任作一条直线g，在直线l,g,m,n上分别取向量l,m,n,g

gxmyn

所以lgl(xmyn)xlmyln

因为lm,ln

所以lm0,ln0

可得lg0

即lg

【方法总结】

例3 在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB900, BAC300,BC1,A1A6,M是CC1得中点.求证：A1BAM. 【审题要津】

证明：如图，建立空间坐标系

C1 z B1 l gα

mnA1 M

5 A C B y

A1(3,0,6),B(0,1,0),A(3,0,0),M(0,0,AM(3,0,6),A1B(3,1,6)

26)

2AMA1B0

【方法总结】用向量证明比几何方法证明简单、明了.

棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？

解：以D为原点建立如图所示的坐标系，

设存在点P（0，0，z），

AP=(-a,0,z)，AC=(-a,a,0)，DB1=(a,a,a)，

A1∵B1D⊥面PAC，∴DB1AP0，DB1AC0

∴－a2+az=0∴z=a，即点P与D1重合

∴点P与D1重合时，DB1⊥面PAC

D1B1PDzC1CBy

xA

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