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适用学科

适用区域

知识点

高中数学

人教A版

适用年级

课时时长（45分钟）

高二

2课时

1、四种命题及其相互关系

2、充分条件和必要条件

3、简单的逻辑连接词

4、全称量词与存在量词

教学目标

1、了解命题的概念，会判断命题的真假．了解命题的四种形式，会分析四种命题之间的相互关系

2、掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念及其判定

3、理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义

4、理解全称量词和存在量词，会用符号语言表示全称命题和特称命题

教学重点

教学难点

判定命题的真假及其四种形式；充分条件、必要条件、充要条件的判定

四种命题的相互关系以及四种命题的真假之间的关系、充分必要性的判定

【知识导图】

教学过程

一、导入

1．命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题

一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用¬p和¬q分别表示p和q的否定，于是四种命题的形式就是

原命题：若p则q(p⇒q)；

逆命题：若q则p(q⇒p)；

否命题：若¬p则¬q(¬p⇒¬q)；

逆否命题：若¬q则¬p(¬q⇒¬p)．

(2)四种命题间的关系

(3)四种命题的真假性

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．

②两个命题为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．

3．充分条件与必要条件

若p⇒q，则p叫做q的充分条件；若q⇒p，则p叫做q的必要条件；如果p⇔q，则p叫做q的充要条件．

4．逻辑联结词

命题中的或，且，非叫做逻辑联结词．“p且q”记作p∧q，“p或q”记作p∨q，“非p”记作¬p．

5．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断

p 真

真

假

假

q 真

假

真

假

p∧q 真

假

假

假

p∨q 真

真

真

假

¬p

假

假

真

真

6．全称量词与存在量词

(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符号简记为∀x∈M，p(x)，它的否定∃x∈M，¬p(x)．

(2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．含有存在量词的命题，叫做特称命题，可用符号简记为∃x∈M，p(x)，它的否定∀x∈M，¬p(x)．

二、知识讲解

点1

命题的定义

考我们把用语言，符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

考点2

四种命题及其相互关系

(1)互逆命题

形式：如果原命题为“若p，则q”，那么它的逆命题为“若q，则p”。

(2)互否命题

形式：如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若¬p，则¬q”。

说明：条件p的否定和结论q的否定分别记作“¬p”和“¬q”，读作“非p”和“非q”

(3)互为逆否命题

形式：如果原命题为“若p，则q”，那么它的否命题为“若¬q，则¬p”。

考

点3

四种命题关系的真假判断

（1）原命题为真，它的逆命题可以为真，也可以为假。

（2）原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假。

（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真。

（4）互为逆否的命题是等价命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，所以它们同真同假。

（5）四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：

原命题

真

真

假

假

逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

考点4

充分条件与必要条件

（1）如果p⇒q，那么p是q的充分条件

（2）如果p⇒q，那么q是p的必要条件

考点5

“且”“或”“非”的概念

(1)且

①定义：用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q，读作“p且q”

②含义：逻辑联结词“且”与我们日常用语中的“并且”“及”“和”“同时”“公共”相当。

(2)或

①定义：用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q，读

作“p或q”

②含义：在日常生活中“或者”有两种用法，其一是“不可兼”的，其二是“可兼”的，逻辑联结词“或”是“可兼”的“或”。

(3)非

①定义：对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作¬p，读作“非p”或“p的否定”

含义：逻辑联结词“非”的含义是有日常生活语言中的“不是”“否定”“问题的反面”“对立”等抽象而来的。

考点6

复合命题“p或q”“p且q”“非p”的真假判断

（1）

命题p∧q的真假：

p

真

真

假

假

可用一句话概括为：一假则假

（2）

命题p∨q的真假

p

真

真

假

假

可用一句话概括为：一真则真

（3）

命题¬p的真假

p

真

假

要点诠释：

真值表命题p∧q的真假可用一句话概括为：一假则假

命题p∨q的真假可用一句话概括为：一真则真

q

真

假

真

假

p∨q

真

真

真

假

q

真

假

真

假

p∧q

真

假

假

假

¬p

假

真

命题¬p的真假可用一句话概括为：真假相对

考

点7

全称量词与存在量词

1、全称量词与全称命题

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词。用符号“∀”表示。

含有全称量词的命题，叫做全称命题。也可以理解为陈述某集合所有元素都具有某种性质的命题。

全称命题的符号记法：将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，……表示，变量x的取值范围用M表示，那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为：∀x∈M，p(x)，读作“对任意的x属于M，有p(x)成立”。

2、存在量词与特称命题

短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词。用符号“∃”表示。

含有存在量词的命题，叫做特称命题。也可以理解为陈述在某集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题。

特称命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)，读作“存在一个x0属于M，使p(x0)成立”。

考点8

含有一个量词的命题的否定

（1）全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)。

（2）特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)。

（3）全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，即它们互为否定形式。

三

、例题精析

类型一

四种命题及其相互关系

例题1 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假．

(1)实数的平方是非负数；

(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；

(3)弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧．

【解析】(1)逆命题：若一个数的平方是非负数，则这个数是实数．真命题．

否命题：若一个数不是实数，则它的平方不是非负数．真命题．

逆否命题：若一个数的平方不是非负数，则这个数不是实数．真命题．

(2)逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形等底等高．真命题．

否命题：若两个三角形不等底或不等高，则这两个三角形不全等．真命题．

逆否命题：若两个三角形不全等，则这两个三角形不等底或不等高．假命题．

(3)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线．真命题．

否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧．真命题．

逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线．真命题．

【总结与反思】给出一个命题，判断其逆命题、否命题、逆否命题等的真假时，如果直接判断命题本身的真假比较困难，则可以通过判断它的等价命题的真假来确定．

例题2 有下列四个命题：

①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；

②“全等三角形的面积相等”的否命题；

③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；

④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题．

其中真命题的序号为________．

【解析】①的逆命题是“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，真；②的否命题是“不全等的三角形的面积不相等”，假；③若q≤1，则Δ＝4－4q≥0，所以x2＋2x＋q＝0有实根，其逆否命题与原命题是等价命题，真；

④的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边三角形”，假．

类型二

充要条件的判断

例题1 给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件．

(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0．

(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等．

(3)p：m＜－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．

(4)p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．

【解析】(1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0；而(x－2)(x－3)＝0，x－2＝0．

∴p是q的充分不必要条件．

(2)∵两个三角形相似两个三角形全等；但两个三角形全等⇒两个三角形相似．

∴p是q的必要不充分条件．

(3)∵m＜－2⇒方程x2－x－m＝0无实根；方程x2－x－m＝0无实根∴p是q的充分不必要条件．

m＜－2．

(4)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q；而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q∴p是q的充分不必要条件．

例题2 p．

下列各小题中，p是q的充要条件的是(

) ①p：m＜－2或m＞6；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点；

f－x②p：＝1；q：y＝f(x)是偶函数；

fx③p：cos α＝cos β；q：tan α＝tan β；

④p：A∩B＝A；q：∁UB⊆∁UA．

A．①②

B．②③

C．③④

D．①④

【解析】①q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点⇔q：Δ＝m2－4(m＋3)＞0⇔q：m＜－2或m＞6⇔p；②当f(x)＝0时，由qπp；③若α，β＝kπ＋，k∈Z时，显然cos α＝cos β，2但tan α≠+.β；④p：A∩B＝A⇔p：A⊆B⇔q：∁UA⊇∁UB．故①④符合题意．

类型三

充要条件的证明

例题1 设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°．

【解析】(1)必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，

则222x20＋2ax0＋b＝0，x0＋2cx0－b＝0，两式相减可得b2x0＝，

c－a2222将此式代入x2，

0＋2ax0＋b＝0，可得b＋c＝a，故∠A＝90°(2)充分性：∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2，b2＝a2－c2．①

将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0，可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0．

将①代入方程x2＋2cx－b2＝0，

可得x2＋2cx＋c2－a2＝0，即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0．

故两方程有公共根x＝－(a＋c)．

所以方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°．

【总结与反思】有关充要条件的证明问题，要分清哪个是条件，哪个是结论，由“条件”⇒

“结论”是证明命题的充分性，由“结论”⇒“条件”是证明命题的必要性．证明要分两个环节：一是充分性；二是必要性．

类型四

判断含有逻辑联结词的命题的真假

例题1

写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“¬p”形式的复合命题，并判断真假．

(1)p：1是素数；q：1是方程x2＋2x－3＝0的根；

(2)p：平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的对角线互相垂直；

(3)p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同；q：方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．

【解析】(1)p∨q：1是素数或是方程x2＋2x－3＝0的根．真命题．

p∧q：1既是素数又是方程x2＋2x－3＝0的根．假命题．

¬p：1不是素数．真命题．

(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直．假命题．

p∧q：平行四边形的对角相等且互相垂直．假命题．

¬p：有些平行四边形的对角线不相等．真命题．

(3)p∨q：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同或绝对值相等．假命题．

p∧q：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号相同且绝对值相等．假命题．

¬p：方程x2＋x－1＝0的两实根的符号不相同．真命题．

【总结与反思】正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是解题的关键，根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．

其步骤为：①确定复合命题的构成形式；②判断其中简单命题的真假；③根据其真值表判断复合命题的真假．

例题2 已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1，命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，给出下列结论：

①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题；③命题“¬p∨q”是真命题；

④命题“¬p∨¬q”是假命题，其中正确的是(

) A．②③

B．①②④

C．①③④

D．①②③④

【解析】命题p：∃x∈R，使tan x＝1是真命题，

命题q：x2－3x＋2＜0的解集是{x|1＜x＜2}也是真命题，

∴①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧¬q”是假命题；

命题“¬p∨q”是真命题；④命题“¬p∨¬q”是假命题．

类型五

全(特)称命题及真假判断

例

题1 判断下列命题的真假．

1(1)∀x∈R，都有x2－x＋1＞．

2(2)∃α，β使cos(α－β)＝cos α－cos β．

(3)∀x，y∈N，都有x－y∈N．

(4)∃x0，y0∈Z，使得2x0＋y0＝3．

1331【解析】(1)真命题，因为x2－x＋1＝(x－)2＋≥＞．

2442ππ(2)真命题，如α＝，β＝，符合题意．

42(3)假命题，例如x＝1，y＝5，但x－y＝－4N．

(4)真命题，例如x0＝0，y0＝3符合题意．

【总结与反思】判定一个全(特)称命题的真假的方法：

(1)全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，若是假命题，举反例即可．

(2)特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素使得命题成立．

例题2

下列四个命题中，其中为真命题的是(

) A．∀x∈R，x2＋3＜0 B．∀x∈N，x2≥1 C．∃x∈Z，使x5＜1 D．∃x∈Q，x2＝3 【解析】由于∀x∈R都有x2≥0，因而有x2＋3≥3，所以命题“∀x∈R，x2＋3＜0”为假命题；

由于0∈N，当x＝0时，x2≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x2≥1”为假命题；

由于－1∈Z，当x＝－1时，x5＜1，所以命题“∃x∈Z，使x5＜1”为真命题；

由于使x2＝3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以命题“∃x∈Q，x2＝3”为假命题．

类型六

全称命题与特称命题的否定

例题1

写出下列命题的“否定”，并判断其真假．

1(1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0；

4(2)q：所有的正方形都是矩形；

(3)r：∃x∈R，x2＋2x＋2≤0；

(4)s：至少有一个实数x，使x3＋1＝0．

1【解析】(1)¬p：∃x∈R，x2－x＋＜0，这是假命题，

411因为∀x∈R，x2－x＋＝(x－)2≥0恒成立，即p真，所以¬p假．

42(2)¬q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．

(3)¬r：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0，是真命题，这是由于∀x∈R，x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1≥1＞0成立．

(4)¬s：∀x∈R，x3＋1≠0，是假命题，这是由于x＝－1时，x3＋1＝0．

【总结与反思】(1)全(特)称命题的否定与一般命题的否定有着一定的区别，全(特)称命题的否定是将其全称量词改为存在量词(或把存在量词改为全称量词)，并把结论否定；而一般命题的否定则是直接否定结论即可．

(2)要判断“¬p”命题的真假，可以直接判断，也可以判断p的真假．因为p与¬p的真假相反且一定有一个为真，一个为假．

例题2

命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是(

) A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0 C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞0 【解析】本题考查全称命题与特称命题的否定．原命题为特称命题，其否定应为全称命题，而“≤”的否定是“＞”，所以其否定为“对任意的x∈R，2x＞0”．

四

、课堂运用

基础

1．下列语句中命题的个数为(

) ①{0}∈N；②他长得很高；③地球上的四大洋；④5的平方是20．

A．0

C．2 B．1 D．3 2．给定下列命题：①若k＞0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；②若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd；③对角线相等的四边形是矩形；④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0．

其中是真命题的是(

) A．①②③

C．①③④

3．“若x2＝1，则x＝1”的否命题为(

) A．若x2≠1，则x＝1

B．若x2＝1，则x≠1 C．若x2≠1，则x≠1

D．若x≠1，则x2≠1 4．命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是(

) A．如果ab是奇数，则a、b都是奇数

B．如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数

C．如果a、b都是奇数，则ab不是奇数

D．如果a、b不都是奇数，则ab不是奇数

5．设a、b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是(

) A．若a≠－b，则|a|≠|b|

B．若a＝－b，则|a|≠|b| C．若|a|≠|b|，则a≠－b

D．若|a|＝|b|，则a＝－b

6．“若a∈A，则a∈B”的逆否命题为__________________．

7．若向量a＝(x，3)(x∈R)，则“x＝4”是“|a|＝5”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

8．设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

9．“x＞1”是“log1x20”的(

) 2B．①②④

D．②③④

A．充要条件

B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

10．“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的(

)

A．充分而不必要条件

C．充分必要条件

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

11．已知向量a＝(x－1，2)、b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是(

) 1A．x＝－

2C．x＝5 B．x＝－1 D．x＝0 12．下列语句：①3是无限循环小数；②x2＞x；③△ABC的两角之和；④毕业班的学生．

其中不是命题的是(

) A．①②③

C．①③④

B．①②④

D．②③④

13．已知命题p：1∈{x|(x＋2)(x－3)＜0}，命题q：∅＝{0}，则下列判断正确的是(

) A．p假q假

C．“p且q”为真

B．“p或q”为真

D．p假q真

14．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是(

) A．“p∨q”为假

C．“p∧q”为真

B．“p∨q”为真

D．以上都不对

15．下列命题：①5＞4或4＞5；②9≥3；③“若a＞b，则a＋c＞b＋c”；④“菱形的两条对角线互相垂直”．其中假命题的个数为(

) A．0

B．1

C．2

D．3 16．“m＝2”是“f(x)＝xm为(－∞，＋∞)上的偶函数”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

17．设命题p：函数y＝sin2x的最小正周期为对称．则下列判断正确的是(

) A．p为真

C．p∧q为假

B．¬q为假

D．p∨q为真

2；命题q：函数y＝cosx的图象关于直线x218．p：函数f(x)＝lgx＋1有零点；q：存在α、β，使sin(α－β)＝sinα－sinβ，在p∨q，p∧q，¬p，¬q中真命题有(

) A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

119．已知命题p：＜1，命题q：x2＋(a－1)x－a＞0，若¬p是¬q的充分不必要条件，则x－1实数a的取值范围是__________________．

20．下列命题中全称命题的个数为(

) ①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形，它的四条边不

相等．

A．0

B．1

C．2

D．3 21．对给出的下列命题：①∀x∈R，－x2＜0；②∃x∈Q，x2＝5；③∃x∈R，x2－x－1＝0；④若p：∀x∈N，x2≥1，则¬p：∃x∈N，x2＜1．其中是真命题的是(

) A．①③

C．②③

B．②④

D．③④

22．设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则¬p为(

) A．∀n∈N，n2＞2n

B．∃n∈N，n2≤2n

C．∀n∈N，n2≤2n

D．∃n∈N，n2＝2n

23．已知命题“∀a、b∈R，如果ab＞0，则a＞0”，则它的否命题是(

) A．∀a、b∈R，如果ab＜0，则a＜0 B．∀a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0 C．∃a、b∈R，如果ab＜0，则a＜0 D．∃a、b∈R，如果ab≤0，则a≤0 答案与解析

1．【答案】C

【解析】①④是命题，②③不是命题．地球上的四大洋是不完整的句子．

2．【答案】B

【解析】①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k＞0，所以①为真命题；②由不等式的乘法性质知命题正确，所以②为真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，所以③是假命题；④由等式性质知命题正确，所以④是真命题，故选B．

3．【答案】C

【解析】“若p则q”的否命题形式为“若¬p则¬q”．

4．【答案】B

【解析】命题“如果a、b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．

5．【答案】D

【解析】命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”，故选D．

6．【答案】若a∉B，则a∉A

【解析】一个命题的逆否命题是结论的否定作条件，条件的否定作结论，故原命题的逆否命题为“若a∉B，则a∉A”．

7．【答案】A

【解析】若x＝4，则a＝(4，3)，∴|a|＝42＋32＝5，若|a|＝5，则x2＋32＝5，

∴x＝±4，故“x＝4”是“|a|＝5”的充分而不必要条件．

8．【答案】A

【解析】由q：2x＞20，解得x＞0，易知，p能推出q，但q不能推出p，故p是q成立的充分不必要条件，选A．

9．【答案】B

11【解析】由log(x＋2)＜0，得x＋2＞1，解得x＞－1，所以“x＞1”是“log(x＋2)＜0”的22充分不必要条件，故选B．

10．【答案】A

【解析】本题考查充要条件及三角函数的性质．当φ＝π时，y＝sin(2x＋π)＝－sin2x，此时图象过原点；而当函数图象过原点时，φ可以取其他值．选A．

11．【答案】D

【解析】本题考查了两向量垂直的坐标运算．

∵a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，a⊥b，∴a·b＝(x－1，2)·(2，1)＝2(x－1)＋2＝2x＝0，即x＝0．

12．【答案】D

【解析】对于①能判断真假，对于②、③、④均不能判断真假．故①是命题，②、③、④均不是命题．

13．【答案】B

【解析】∵{x|(x＋2)(x－3)＜0}＝{x|－2＜x＜3}，∴1∈{x|(x＋2)(x－3)＜0}，∴p真．

∵∅≠{0}，∴q假．故“p或q”为真，“p且q”为假，故选B．

14．【答案】B

【解析】命题p为真命题，命题q为假命题，故“p∨q”为真命题．

15．【答案】A

【解析】①②都是“p或q”形式的命题，都是真命题，③为真命题，④为真命题，故选A．

16．【答案】A

【解析】m＝2时，f(x)＝x2为偶函数，但f(x)＝xm为偶函数时，m＝2不一定成立，如m＝4．

17．【答案】C

【解析】本题考查命题真假的判断．p为假命题，q为假命题．所以p∧q为假命题．

对“p∧q”真假判定：全真为真，一假则假．

18．【答案】B

1【解析】∵f10＝0，∴p真；∵α＝β时，sin(α－β)＝0＝sinα－sinβ，∴q真，故p∨q为真，p∧q为真，¬p为假，¬q为假．

19．【答案】(－∞，－2) 1【解析】命题p：＜1，∴x＞2或x＜1．命题q：x2＋(a－1)x－a＞0，

x－1

∴(x＋a)(x－1)＞0．

∵¬p是¬q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件．∴－a＞2，∴a＜－2．

20．【答案】C

【解析】①②是全称命题，③是特称命题．

21．【答案】D

1±5【解析】①中，当x＝0时，－x2＝0；②中，x2＝5，x＝±5，±5是无理数；③中，∃x＝，2使得x2－x－1＝0；④中，全称命题的否定是特称命题，故③④是真命题．

22．【答案】C

【解析】¬p：∀n∈N，n2≤2n，故选C

．

23．【答案】B

【解析】条件ab＞0的否定为ab≤0；结论a＞0的否定为a≤0，故选B．

巩固

1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是(

) A．

a·b＝0，则a＝0或b＝0 B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0 C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b

D．若a·b＝a·c，则b＝c

2．已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(

A．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β⇒α∥β

B．α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n

C．m⊥α，m⊥n⇒n∥α

D．n∥m，n⊥α⇒m⊥α

3．下面的命题中是真命题的是(

) A．y＝sin2x的最小正周期为2π

B．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根同号，则ca＞0 C．如果M⊆N，那么M∪N＝M

D．在△ABC中，若AB→·BC→＞0，则△ABC为锐角三角形

4．“B＝60°”是“△ABC三个内角A，B，C成等差数列”的(

) A．充分而不必要条件

B．充要条件

C．必要而不充分条件

)

D．既不充分也不必要条件

5．指出下列各组命题中，p是q的什么条件：

(1)在△ABC中，p；A＞B，q：sinA＞sinB；(2)p：|x＋1|＞2，q：(x－2)(x－3)＜0．

16．“m＝”是“直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直”

2的(

) A．充分必要条件

C．必要而不充分条件

B．充分而不必要条件

D．既不充分也不必要条件

7．“a＝1”是“直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

8．m＝3是直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

9．已知p：α为第二象限角，q：sinα＞cosα，则p是q成立的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

10．已知命题p、q，则命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

→→→→→→11．在△ABC中，“AB·AC＝BA·BC”是“|AC|＝|BC|”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

12．设a、b、c是非零向量，已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是(

) A．p∨q

C．(¬p)∧(¬q) 13．若命题“p∧(¬q)”为真命题，则(

) A．p∨q为假命题

C．q为真命题

B．q为假命题

D．(¬p)∧(¬q)为真命题

B．p∧q

D．p∨(¬q) 14．已知命题p：x2－4x＋3＜0与q：x2－6x＋8＜0；若“p且q”是不等式2x2－9x＋a＜0成立的充分条件，则实数a的取值范围是(

)

A．(9，＋∞) C．(－∞，9] B．{0} D．(0，9] 15．已知命题p：函数f(x)＝|lgx|为偶函数，q：函数g(x)＝lg|x|为奇函数，由它们构成的“p∨q”“p∧q”和“¬p”形式的新命题中，真命题是__________________．

16．已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的

是(

) A．p∧q

C．p∧(¬q) 17．下列命题中，真命题是(

) A．∀x∈R，x2≥x

B．命题“若x＝1，则x2＝1”的逆命题

C．∃x0∈R，x20≥x0

D．命题“若x≠y，则sinx≠siny”的逆否命题

18．命题“存在x∈Z，使x2＋2x＋m≤0成立”的否定是(

) A．存在x∈Z，使x2＋2x＋m＞0 B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m＞0 C．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m≤0 D．对于任意x∈Z，都有x2＋2x＋m＞0 答案与解析

1．【答案】B

【解析】A选项中可能有a⊥b；C选项中a2＝b2说明|a|＝|b|，a与b并不一定共线，D选项中a·b＝a·c说明a·(b－c)＝0，则a⊥(b－c) 2．【答案】D

【解析】验证排除法：A选项中缺少条件m与n相交；B选项中两平行平面内的两条直线m与n关系不能确定；C选项中缺少条件n⊄α．

3．【答案】B

1－cos2x2π【解析】y＝sin2x＝，T＝＝π，故A为假命题；当M⊆N时，M∪N＝N，故C为22→→→→假命题；当AB·BC＞0时，向量AB与BC的夹角为锐角，B为钝角，故D为假命题．

4．【答案】B

【解析】在△ABC中，A＋B＋C＝180°，若B＝60°，则A＋C＝180°－60°＝120°，∴A＋C＝2B，∴△ABC三个内角A，B，C成等差数列．若△ABC三个内角A，B，C成等差数列，则A＋C＝2B，∴A＋B＋C＝3B＝180°，∴B＝60°．故选B．

5．【答案】见解析

B．(¬p)∧q

D．(¬p)∧(¬q)

【解析】(1)在△ABC中，角A，B所对的边分别为a，b，其外接圆的半径为R，∵A＞B，∴a＞b，又a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴2RsinA＞2RsinB，∴sinA＞sinB．反之，sinA＞sinB，2RsinA＞2RsinB，∴a＞b，∴A＞B，故p是q的充要条件．

(2)p：|x＋1|＞2⇔x＞1或x＜－3，q：2＜x＜3，q所对应的集合真包含于p所对应的集合．

故p是q的必要不充分条件．

6．【答案】B

【解析】(m＋2)x＋3my＋1＝0与(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0互相垂直的充要条件是(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，即(m＋2)(4m－2)＝0．

11∴m＝－2，或m＝．故m＝为两直线垂直的充分不必要条件．

227．【答案】C

【解析】当a＝1时，直线x－ay＝0化为直线x－y＝0，∴直线x＋y＝0与直线x－y＝0垂直；当直线x＋y＝0和直线x－ay＝0互相垂直时，有1－a＝0，∴a＝1，故选C．

8．【答案】A

|3＋m|【解析】由圆心(1，0)到直线3x－y＋m＝0距离d＝＝3得，m＝3或－33，故2选A．

9．【答案】A

【解析】当α为第二象限角时，sinα＞0，cosα＜0，∴sinα＞cosα，但sinα＞cosα不能推出α为第二象限角．

10．【答案】B

【解析】p∧q为真⇒p真且q真⇒p∨q为真；p∨q为真⇒p真或q真⇒/

p∧q为真．

11．【答案】C

→→→→【解析】如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB，则|AD|＝|AC|·cos∠CAB，|BD|＝|BC|·cos∠→→→→→→→→→→CBA，AB·AC＝BA·BC⇔|AB|·|AC|·cos∠CAB＝|BA|·|BC|·cos∠CBA⇔|AC|·cos∠CAB＝|BC|·cos→→→→∠CBA⇔|AD|＝|BD|⇔|AC|＝|BC|，故选C．

12．【答案】A

【解析】取a＝c＝(1，0)，b＝(0，1)知，a·b＝0，b·c＝0，但a·c≠0，∴命题p为假命题；

∵a∥b，b∥c，∴存在λ，μ∈R，使a＝λb，b＝μc，

∴a＝λμc，∴a∥c，∴命题q是真命题．∴p∨q为真命题．

13．【答案】B

【解析】p∧(¬q)为真命题，故¬q为真命题，所以q为假命题．

14．【答案】C

【解析】由x2－4x＋3＜0可得p：1＜x＜3；由x2－6x＋8＜0可得q：2＜x＜4，∴p且q为：2＜x＜3，由条件可知，{x|2＜x＜3}是不等式2x2－9x＋a＜0的解集的子集，即方程2x2－9x＋a＝0的两根中一根小于等于2，另一根大于等于3．令f(x)＝2x2－9x＋a，则有f2＝8－18＋a≤0，⇒a≤9．故选C．

f3＝18－27＋a≤0.

15．【答案】¬p

【解析】函数f(x)＝|lgx|为非奇非偶函数，g(x)＝lg|x|为偶函数，故命题p和q均为假命题，从而只有“¬p”为真命题．

16．【答案】B

【解析】由20＝30知p为假命题；令h(x)＝x3＋x2－1，则h(0)＝－1＜0，h(1)＝1＞0，∴方程x3＋x2－1＝0在(－1，1)内有解，∴q为真命题，∴(¬p)∧q为真命题，故选B．

17．【答案】C

【解析】∵x2－x≥0的解为x≤0或x≥1，∴存在x0∈{x|x≤0或x≥1}，使x20≥x0，故C为真命题．

18．【答案】D

【解析】特称命题的否定是全称命题．

1．已知命题p：“若a＞b＞0，则log1

a＜log1

b＋1”，则命题p及它的逆命题、否命题、22

拔高

逆否命题中正确命题的个数为(

) A．0 C．2 B．1 D．4 2．已知条件p：x2－3x－4≤0；条件q：x2－6x＋9－m2≤0，若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围．

3．“lgx＞lgy”是“x＜y”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

4．设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

5．平面向量a、b都是非零向量，a·b＜0是a与b夹角为钝角的__________________条件．

6．已知三条直线l1：x－y＝0，l2：x＋y－2＝0，l3：5x－ky－15＝0，则l1、l2、l3构不成三角形的充要条件是k∈集合__________________．

7．设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

8．“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的

(

) A．充分不必要条件

C．充分必要条件

9．下列命题中的真命题有(

) ①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；

→→②△ABC中，AB·BC＜0是△ABC为钝角三角形的充要条件；

③2b＝a＋c是数列a、b、c为等差数列的充要条件；

④△ABC中，tanAtanB＞1是△ABC为锐角三角形的充要条件．

A．1个

C．3个

B．2个

D．4个

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

10．已知a＞0，设命题p：函数y＝ax在R上单调递增；命题q：不等式x2－ax＋1＞0对

x∈R恒成立．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

11．设命题p：a2＜a，命题q：对任何x∈R，都有x2＋4ax＋1＞0，命题p∧q为假，p∨q为真，则实数a的取值范围是__________________．

12．已知命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立；命题q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

113．已知命题p：∀x∈R，x2－x＋＜0，命题q：∃x0∈R，sinx0＋cosx0＝2，则p∨q，

4p∧q，¬p，¬q中是真命题的有__________________．

π0，，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为__________________．

14．若“∀x∈4答案与解析

1．【答案】C

【解析】对于命题p，当a＞b＞0时，有log1

a＜log1

b，则必有log1

a＜log1

b＋1，因此2222bb原命题正确，逆否命题也正确；但当log1

a＜log1

b＋1时，得log1

a＜log1

，即a＞＞0，222222此时不一定有a＞b＞0，因此逆命题不正确，则命题p的否命题也不正确．因此一共有2个正确命题，故选C．

2．【答案】见解析

【解析】p：－1≤x≤4，q：3－m≤x≤3＋m(m＞0)或3＋m≤x≤3－m(m＜0)，

m>0m<0依题意，3－m≤－1，或3＋m≤－1，解得m≤－4或m≥4．

3＋m≥43－m≥43．【答案】A

【解析】lgx＞lgy⇒x＞y＞0⇒x＞y；而x＝2，y＝0时，x＞y⇒/

lgx＞lgy，故“lgx＞lgy”是“x＞y”的充分不必要条件．

4．【答案】A

【解析】∵l⊥α，m⊂α，n⊂α，∵l⊥m且l⊥n，故充分性成立；又l⊥m且l⊥n时，m、n⊂α，不一定有m与n相交，∴l⊥α不一定成立，∴必要性不成立，故选A．

5．【答案】必要不充分

【解析】若a与b夹角为钝角，则a·b＜0，反之a·b＜0时，如果a与b方向相反，则a与b夹角不是钝角．

6．【答案】{－5，5，－10} 【解析】①l1∥l3时，k＝5；②l2∥l3时，k＝－5；③l1、l2、l3相交于同一点时，k＝－10．

7．【答案】C

【解析】若a1＜a2＜a3，则a1＜a1q＜a1q2，若a1＞0，则q＞1，此时为递增数列，若a1＜0，则0＜q＜1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．

8．【答案】C

【解析】本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断．若a＝0，则f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增，若“a＜0”，则f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|其图象如图所示，在(0，＋∞)内递增；反之，若f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)内递增，从图中可知a≤0，故选C．

9．【答案】B

→→【解析】两直线平行不一定有斜率，①假．由AB·BC＜0只能说明∠ABC为锐角，当△ABC→→为钝角三角形时，AB·BC的符号也不能确定，因为A、B、C哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．由tanAtanB＞1，知A、B为锐角，∴sinAsinB＞cosAcosB，

∴cos(A＋B)＜0，即cosC＞0．∴角C为锐角，∴△ABC为锐角三角形．

π反之若△ABC为锐角三角形，则A＋B＞，∴cos(A＋B)＜0，∴cosAcosB＜sinAsinB，

2∵cosA＞0，cosB＞0，∴tanAtanB＞1，故④真．

10．【答案】见解析

【解析】∵函数y＝ax在R上单调递增，∴a＞1，∴p：a＞1．

∵不等式x2－ax＋1＞0时x∈R恒成立，∴Δ＝a2－4＜0，∴－2＜a＜2．∴q：0＜a＜2．

a>1又∵p∨q为真，p∧q为假，∴p、q一真一假．当p真q假时，，∴a≥2．

a≥20

0

1111．【答案】－＜a≤0或≤a＜1 22【解析】由a2＜a得0＜a＜1，∴p：0＜a＜1；由x2＋4ax＋1＞0恒成立知Δ＝16a2－4＜0，1111∴－＜a＜，∴q：－＜a＜，∵p∧q为假，p∨q为真，∴p与q一真一假，p假q真时，22221111－＜a≤0，p真q假时，≤a＜1，∴实数a的取值范围是－＜a≤0或≤a＜1．

222212．【答案】见解析

【解析】设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16＜0．所以－2＜a＜2，所以命题p：－2＜a＜2；又f(x)＝－(5－2a)x是减函数，则有5－2a＞1，即a＜2．所以命题q：a＜2．∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，∴p和q一真一假．

－2

a≥2a≤－2或a≥2(2)若p为假命题，q为真命题，则，解得a≤－2．

a<2

综上，实数a的取值范围是(－∞，－2]．

13．【答案】p∨q

¬p

11π【解析】∵x2－x＋＝(x－)2≥0，故p是假命题，而存在x0＝，使sinx0＋cosx0＝2，故q424是真命题，因此p∨q是真命题，¬p是真命题．

14．【答案】1 ππ【解析】若“∀x∈[0，]，tan x≤m”是真命题，则m≥f(x)max，其中f(x)＝tanx，x∈[0，]．

44π∵函数f(x)＝tan x，x∈[0，]的最大值为1，∴m≥1，即m的最小值为1．

4

五

、课堂小结

1.命题的四种形式：

原命题：若p则q。

逆命题：若q则p。

否命题：若p,则q。

逆否命题：若q,则p。

2.充分条件、必要条件、充要条件

如果p⇒q，那么p是q的充分条件，那么q是p的必要条件，如果pq，那么p是q的充要条件

3.逻辑联结词：”非“，”且“，”或“。

P是真命题p是假命题。

pq是真命题p和q都是真命题。

pq是真命题p和q中至少有一个是真命题。

4.全称量词与存在量词

含有全称量词的命题是真命题，必须考虑所有的情况。

含有存在量词的命题是真命题，只需考虑某一种情况。

六

、课后作业

基础

1．有以下命题：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“面积相等的三角形全等”的否命题；

③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；

④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题．

其中真命题为(

) A．①②

C．④

B．②③

D．①②③

2．“a＞b且c＞d”是“ac＞bd”成立的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

3．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

4．命题p：若ac2＞bc2，则a＞b；命题q：在△ABC中，若A≠B，则sin A≠sin B．则(

) A．p假、q真

C．“p或q”为假

B．p真、q假

D．“p且q”为真

5．命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是(

) A．不存在x0∈R，2x0＞0 B．存在x0∈R，2x0≥0 C．对任意的x∈R，2x≤0 D．对任意的x∈R，2x＞0

6．若命题p：∃α∈R，cos(π－α)＝cos α，命题q：∀x∈R，x2＋1＞0，则下面结论正确的

是(

) A．p是假命题

C．p∧q是假命题

7．下列有关命题的说法正确的是(

) A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”

B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件

C．命题“∃x∈R，使得x2＋x－1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x－1＞0”

D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题

8．下列命题中正确的是(

) A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题

B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件

C．命题“若x＜－1，则x2－2x－3＞0”的否定为：“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”

D．已知命题p：∃x∈R，x2＋x－1＜0，则¬p：∃x∈R，x2＋x－1≥0 答案与解析

1．【答案】D

【解析】④中原命题为假命题，应为若A∩B＝B，则B⊆A，故其逆否命题为假命题，故应选D．

2．【答案】D

【解析】因为a＞b且c＞d⇒/ac＞bd，ac＞bd⇒/a＞b且c＞d，所以“a＞b且c＞d”是“ac＞bd”成立的既不充分也不必要条件，故应选D．

3．【答案】A

B．¬q是真命题

D．p∨q是真命题

【解析】当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反之，若(a＋bi)2＝2i，则有a＝b＝－1或a＝b＝1，故应选A．

4．【答案】D

【解析】因为p真、q真，所以p且q为真．故应选D．

5．【答案】D

【解析】根据命题的否定的定义，易知D正确．故应选D．

6．【答案】D

π【解析】对于命题p，当α＝时，有cos(π－α)＝cos α成立，故命题p是真命题；命题q显2然正确，则¬q是假命题，p∧q是真命题，p∨q是真命题．故应选D．

7．【答案】D

【解析】命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，所以A错；由x2－5x－6＝0，得x＝－1或x＝6，所以“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”充分不必要条件，所以B错；命题“∃x∈R，使得x2＋x－1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2＋x－1≥0”，所以C错；因为原命题与逆否命题真假相同，易知D正确，故应选D．

8．【答案】B

【解析】若p∨q为真命题，则p，q有可能一真一假，此时p∧q为假命题，故A错；易知由“x＝5”可以得到“x2－4x－5＝0”，但反之不成立，故B正确；选项C错在把命题的否定写成了否命题；特称命题的否定是全称命题，故D错．故应选B．

巩固

1．已知集合A＝{x|x＞5}，集合B＝{x|x＞a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(

) A．(－∞，5) C．(5，＋∞) B．(－∞，5] D．[5，＋∞) 2．命题“若m＞0，则关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为________．

3．下列命题：

①若ac2＞bc2，则a＞b；

②若sin α＝sin β，则α＝β；

③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；

④若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．

其中正确命题的序号是________．

1x1－x1x＋1－x在R为增函4．已知命题p1：函数y＝－在R为减函数，p：函数y＝22222数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是(

) A．q1，q3

C．q1，q4

B．q2，q3

D．q2，q4

5．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________．

6．已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若¬p是¬q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．

7．下列说法中正确的是(

) A．“x＞5”是“x＞3”的必要不充分条件

B．命题“对∀x∈R，恒有x2＋1＞0”的否定是“∃x∈R，使得x2＋1≤0”

C．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数

D．设p，q是简单命题，若p∨q是真命题，则p∧q也是真命题

答案与解析

1．【答案】A

【解析】由题意可知，AB，又A＝{x|x＞5}，B＝{x|x＞a}，如图所示，由图可知，a＜5．故应选A．

2．【答案】2 1【解析】由Δ＝1＋4m≥0，解得m≥－，故原命题及其逆否命题是真命题．

4逆命题“若关于x的方程x2＋x－m＝0有实数根，则m＞0”是假命题，从而否命题也是假命题，故共有2个真命题．

3．【答案】①③④

【解析】对于①，ac2＞bc2，c2＞0，∴a＞b正确；对于②，sin 30°＝sin 150°⇒/30°＝150°，所以②错误；对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，所以③正确；④显然正确．

4．【答案】C

1xx【解析】因为函数y＝2－2是R上的减函数，所以命题p1是真命题；

因为x＝1和x＝1x15x－1时，都有y＝＋2＝，所以函数y＝＋2不是R上的增函数，故p2是假命题，所以222p1∨p2是真命题，p1∧p2是假命题，(¬p1)∨p2是假命题，p1∧(¬p2)是真命题，所以真命题是q1，q4，故应选C．

5．【答案】3或4

【解析】∵x2－4x＋n＝0有整数根且n∈N*，∴x＝4±16－4n＝2±4－n，

2∴4－n为某个整数的平方且4－n≥0，∴n＝3或n＝4．

∴当n＝3时，x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3；

当n＝4时，x2－4x＋4＝0，解得x＝2．∴n＝3或n＝4．

6．【答案】[2，4]

【解析】由题意，p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5．∴¬p：x＜1或x＞5．

易得q：m－1≤x≤m＋1，∴¬q：x＜m－1或x＞m＋1．

m－1≥1，又∵¬p是¬q的充分不必要条件，∴∴2≤m≤4．

m＋1≤5，

7．【答案】B

【解析】“x＞5”是“x＞3”的充分不必要条件，故A错；B是正确的；函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)不可能是奇函数，故C错误；若p∨q是真命题，则p，q中至少有一个是真命题，但不能确定都是真命题，推不出p∧q也是真命题，故D错．故应选B．

拔高

1．若集合A＝{x|x2－5x＋4＜0}，B＝{x||x－a|＜1}，则“a∈(2，3)”是“B⊆A”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

42．设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥，则p是q的(

) 3A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

3．已知f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝kx－1，则“|k|≤2”是“f(x)≥g(x)在R上恒成立”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

4．已知“命题p：∃x0∈R，使得ax20＋2x0＋1＜0成立”为真命题，则实数a满足(

) A．[0，1) C．[1，＋∞) B．(－∞，1) D．(－∞，1]

5．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．

6．已知命题p：∀x∈[0，1]，a≥ex，命题q：“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是________．

7．已知命题p：“存在a＞0，使函数f(x)＝ax2－4x在(－∞，2]上单调递减”，命题q：“存在a∈R，使∀x∈R，16x2－16(a－1)x＋1≠0”．若命题“p∧q”为真命题，求实数a的取值范围．

8．已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根；q：不等式4x2＋4(m－2)x＋1＞0的解集为R．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．

答案与解析

1．【答案】A

1＋a≤4，【解析】由题意知，A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|－1＋a＜x＜1＋a}，若B⊆A，则－1＋a≥1，

解得2≤a≤3，所以必要性不成立．反之，若2＜a＜3，则必有B⊆A成立，所以充分性成立，故应选A．

2．【答案】C

【解析】f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，可得f′(x)＝3x2＋4x＋m≥0对2444x＋2＋≤，任意x∈R恒成立，即m≥[－(3x2＋4x)]max，而－(3x2＋4x)＝－3因此m≥；33334由m≥，可推出f′(x)＝3x2＋4x＋m≥0，所以p是q的充要条件．故应选C．

33．【答案】A

【解析】“f(x)≥g(x)在R上恒成立”，则x2－2x＋3≥kx－1，恒成立，即x2－(2＋k)x＋4≥0恒成立，由Δ＝(2＋k)2－16≤0，得－6≤k≤2．显然|k|≤2，即－2≤k≤2是上述k的取值范围的真子集．故应选A．

4．【答案】B

1【解析】解法一：当a＝0时，2x＋1＜0，可得x＜－，此时存在x0使ax2

0＋2x0＋1＜0成立；2当a≠0时，要使∃x0∈R，ax20＋2x0＋1＜0成立，只要4－4a＞0，即a＜1且a≠0即可．

综上所述，a＜1．故应选B．

解法二：命题p的否定是“∀x∈R，ax2＋2x＋1≥0”．当a＝0时，显然命题为假；a≠0时，命题¬p为真的充要条件是a＞0且Δ＝4－4a≤0，即a≥1．

故¬p为真时a的取值范围A＝[1，＋∞)，故p为真时a的取值范围是∁RA＝(－∞，1)．故应选B．

5．【答案】[－8，0]

【解析】由题意，ax2－ax－2≤0对∀x∈R恒成立．

(1)当a＝0时，－2≤0，符合题意．

a<0，(2)当a≠0时，只需解得－8≤a＜0，

2Δ＝a＋8a≤0，

由(1)(2)可知，实数a的取值范围是[－8，0]．

6．【答案】[e，4]

【解析】因为∀x∈[0，1]，a≥ex，所以a≥e．

由“∃x∈R，x2＋4x＋a＝0”，可得判别式Δ＝16－4a≥0，即a≤4．

若命题“p∧q”是真命题，则p，q同时为真，所以e≤a≤4．

7．【答案】见解析

－422【解析】若p为真，则对称轴x＝－＝在区间(－∞，2]的右侧，即≥2，∴0＜a≤1．

2aaa若q为真，则方程16x2－16(a－1)x＋1＝0无实数根，∴Δ＝[16(a－1)]2－4×16＜0，

13∴＜a＜．

220

∵命题“p∧q”为真命题，∴1∴＜a≤1．故实数a的取值范围为322

2Δ＝m－4>0，【解析】若p为真命题，则解得m＞2；

－m<0，

若q为真命题，则Δ＝[4(m－2)]2－4×4×1＜0，解得1＜m＜3．

由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，知p与q一真一假．

m>2，当p真，q假时，由得m≥3；

m≤1或m≥3，m≤2，当p假，q真时，由得1＜m≤2．

1

综上，知实数m的取值范围是(1，2]∪[3，＋∞)