1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）优秀教案设计

1.3空间几何体的表面积与体积

课程学习目标

1.通过对柱、锥、台、球的研究,了解球的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式),掌握柱、锥、台、球的表面积与体积的求法,能运用公式进行计算并解决有关的实际问题.

2.经历几何体的侧面展开过程,感知几何体的形状,通过对照比较柱体、锥体、台体,掌握三者之间的表面积与体积的转化.

3.感受几何体体积和表面积公式的推导过程,提高空间思维能力和空间想象能力,增强探索问题和解决问题的能力.

创设情境

2013年6月11号,神州十号发射成功并在太空与天宫一号对接成功,女航天员王亚平在天宫仓内上了一堂生动的太空课,其中水球演示实验非常神奇,即水在太空中的形状是球状的形式.其原理就是在失重的状态下,影响水的形状的主要因素就是水的表面张力,而表面张力的作用就是压缩水的表面积,而在相同体积下的几何体中,球的表面积最小,这就是为什么在太空中水的形状是球状的原因.

知识导学

问题1:

直棱柱、棱锥、棱台表面积展开图是什么,该如何计算?

直棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算,可以先计算其侧面积,然后加上它们的底面积.

(1)从侧面展开图可知:直棱柱侧面积S侧=

,底面周长为c,侧棱为h.

(2)棱锥侧面积S侧=

,底面周长为c,斜高为h'.

(3)棱台侧面积S侧=

,上、下底面的周长分别为c'、c,斜高为h'

.

问题2:圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么?侧面积及表面积公式呢?

圆柱:侧面展开图是

,长是圆柱底面圆的

,宽是圆柱的高(母线),

S圆柱侧=2πrl,S圆柱表=2πr(r+l),其中r为圆柱底面半径,l为母线长.

1

圆锥:侧面展开图为一个

,扇形的半径是圆锥的

,弧长等于圆锥底面周长,侧面展开图的扇形圆心角为θ=×360°,S圆锥侧=πrl,S圆锥表=πr(r+l),其中r为圆锥底面半径,l为母线长.

圆台:侧面展开图是

,内弧长等于圆台的

,外弧长等于圆台的

,侧面展开图的扇环圆心角为θ=×360°,S圆台侧=π(r+r')l,S圆台表=π(r2+rl+r'l+r'2).

问题3:写出柱体、锥体、台体、球的体积计算公式.

(1)V柱=

,其中S和h分别是柱体的底面积和高.

特别地,V圆柱=

,其中r和h分别是圆柱的底面半径和高.

(2)V锥=

,其中S和h分别是锥体的底面积和高.

特别地,V圆锥=

,其中r和h分别是圆锥的底面半径和高.

(3)V台=(S+(4)V球=πR.

问题4:柱、锥、台的体积计算公式有何关系?

从锥、台、柱的形状可以看出,当台体上底缩为一点时,台成为

;当台体上底放大为与下底相同时,台成为

.因此只要分别令

和

便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式.从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式.

柱体、锥体、台体的体积公式之间存在的关系.

3+S')h,其中S、S'和h分别是台体的上底面面积、下底面面积和高.

22特别地, V圆台=π(r+rr'+r')h,其中r、r'和h分别是圆台的上底面半径、下底面半径和高.

(S'、S分别为上、下底面面积,h为柱、锥、台的高) 基础学习交流

1.圆锥的底面半径为1,高为A.π

,则圆锥的表面积为(

).

B.2π

C.3π

D.4π

,则长方体的侧面积等于(

).

2.长方体的高为1,底面积为2,垂直于底的对角面的面积是A.2

B.4

C.6 D.3 3.半径为R的半圆卷成一个圆锥,这个圆锥的体积为

.

4.一个底面直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球,球全部没入水中后,水面升高9厘米,求此球的表面积.

2

重难点探究

棱柱、棱锥、棱台的体积与表面积

已知棱长为5,底面为正方形,各侧面均为正三角形的四棱锥,求它的表面积与体积.

球的表面积与体积

已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半且AC=BC=6,AB=4,求球的表面积与球的体积.

简单组合体的表面积和体积

如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°, AB=5, CD=2线旋转一周所成几何体的表面积和体积.

思维拓展应用

3

, AD=2.求四边形ABCD绕AB所在直

如图所示,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,用截面截下一个三棱锥C-A'DD',求三棱锥C-A'DD'的体积与剩余部分的体积之比.

已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上,且AB=6,BC=2

牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体,尺寸如图所示,请你帮忙算出要搭建这样的一个2蒙古包至少需要多少m的篷布,这个蒙古包占多大的体积?(精确到0.01 ) ,求棱锥O-ABCD的体积.

技能应用于拓展

基础技能检测

1.一个球的大圆面积为9π,则球的表面积和体积分别为(

).

A.9π,27π

B.9π,36π

C.36π,36π

D.36π,48π

2.若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为A.3π

B.3π

C.6π

D.9π

,则这个圆锥的表面积是(

).

3.长方体的三个面的面积分别为2、6和9,则长方体的体积为

.

4.如图是一个圆台的侧面展开图,根据图中数据求这个圆台的表面积和体积.

4

(2013年·江苏卷)如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,D,E,F分别是AB,AC,AA1的中点,设三棱锥F-ADE的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2=

.

考题变式(我来改编):

总结评价与反思

5

简单几何体的表面积和体积作业

一、选择题

1．一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为(

) 6

A．280

。w-w*k&s%5￥u

B．292

C．360

D．372 2．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上．若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积(

)

A．与x，y，z都有关

B．与x有关，与y，z无关

C．与y有关，与x，z无关

D．与z有关，与x，y无关

3．一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形，如图所示，则该多面体的体积为(

)

A．24 cm3

B．48 cm3

C．32 cm3

D．28 cm3

4．已知某几何体的三视图如图，其中正(主)视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为(

) 7

3πππA．24－

。w-w*k&s%5￥uB．24－

C．24－π

D．24－

2325．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是(

) A．8π

B．6π

C ．4π

D．π

6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于(

)

28164A.π

。w-w*k&s%5 ￥uB.π

C.π＋8

D．12π

333二、填空题

7．

三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P－ABC的体积等于________．

8．如图，在三棱锥O－ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为________．

9．圆柱形容器内部盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.

三、解答题

10．已知正方体AC1的棱长为a，E、F分别为棱AA1与CC1的中点，求四棱锥A1－EBFD1的体积．

11．如图，已知某几何体的三视图如下(单位：cm)．

8

(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；

(2)求这个几何体的表面积及体积．

12．一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)：

(1)试画出它的直观图；

(2)求它的表面积和体积．。w-w*k&s%5￥u

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