习题3.1优秀导入

一师一优课教案

课题：

3.1用基底法求解非正交分解立体几何问题

——节末习题课

秦皇岛市第一中学 孙丽

2019年7月 15日

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课题： 3.1用基底法求解非正交分解立体几何问题

——节末习题课

秦皇岛市第一中学 孙丽

教材分析

本节课是普通高中课程标准实验教科书人教版选修2-1,3.1空间向量及其运算专题习题课。

向量是既有大小又有方向的量，它能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的应用，本章要学习的空间向量，将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。

习题课教学是高中数学主要课型，是夯实双基拓展知识，总结规律，培养技能的有效阵地。本节课在学生已经具备空间向量及其运算的知识基础上，采用学案导学式教学法，从平行六面体模型入手安排例题，学生在导学案的四个例题中找到共性内容，统一的方法，总结规律，实现专题问题的解决。

由于平行六面体中有时难以找到建立空间直角坐标系的方法，传统方法对学生的思维能力要求很高（讲授班级是选历史、生物、地理的学生，学生数学基础薄弱），所以本节课向量基底法的方法就显现出强大的优势，本节课的本质是向学生渗透类比思想、数形结合思想、转化思想。

学习目标：

1.类比平面向量及其运算体会得出空间向量及其运算的过程；

2.利用向量方法把几何中“形”和代数中的“数”结合起来，体现了数形结合的思想；

3.培养学生把立体几何中的夹角、距离、垂直、平行等问题转化为向量的夹角、模、垂直、平行等问题解决，体现了转化思想的运用. 4.本节课主要以非正交分解下的平行六面体为模型，借助基底法实现共面、长度、垂直、夹角、平行问题的解决。

学习重点：空间向量的运算，空间向量基本定理，用基底法表示向量

学习难点：利用基底法求解立体几何中的相关问题

教法、学法

教法

学案导学式教学法，小组讨论，课上展示、交流归纳、总结提升。 学通过学生发现，小组讨论，学生主动思考、自主探究、自己动手来达到对知识的发现和法内化。

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学 生 活 动

学生以导学案为基础，总结空间向量及其运算基底法求解的重点知识

线性运算

数量积

教师

活动

空间向量在立体几何中占有重要作用，空间向量打破了立体几何传统方法，减少大量辅助作图，减少对图形的分析，减少空间想象过程，用向量方法求解使用代数运算来解决，思路清晰是一个非常有效的工具。

本章有两节，第二节倾向在正交分解下利用坐标法解立体几何题，本节课的重点放在非正交分解下的立体几何问题。

学生总结本节课重点知识

例1方法提炼

基础

基底法

（1）多边形法则（加法法则）

（2）共起点

（减法法则）

组内有中心发言人讨论踊跃人人参与

设计意图

明确章节间的关系，空间向量方法的重要性

本节课以非正交分解下平行六面体为模型，讲述如何求解立体几何问题

用类比迁移的方法获取新知识

在师生交流中产生问题，在学生合作探索中解决问题，培养学生的思维能力

空间向量及其基本概念基本定理解立体几何问题

坐标表示

小组交流（一）

问题1：本专题导学案涉及到哪些基础知识？

问题2：解决例1的方法有哪些？

知识链接:（学生演示）

1.

共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y)，使pxayb

2.

空间向量基本定理：如果三个向量a,b,c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x,y,z，使得pxaybzc

若ab,求a求夹角3.

数量积：ababcos

若90，ab0例1．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，A1B1a,A1D1b,A1Ac．则下列向量中与B1M相等的向量是

1111A.abc B．abc

22221111C．abc D．abc

2222法一：B1MB1BBM

法二：B1MB1A1A1AAM

3

法三：B1MAMAB1

小组交流（二）

问题1：用基底法可以解决哪些立体几何问题？

问题2：小组合作学习，共同完成例2，例3. 例2：如图在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，EF分别是B1B和D1D上的点，且BE＝BB1，DF＝132DD1， 3（1）证明：A、E、C1、F四点共面．

（2）若EFxAByADzAA，

1求xyz的值．

解（1）学生一：错解：错把平面几何知识运用到立体几何中

基底化方法，设ABa,ADb,AA1c

法一：AC1AEAF,由共面向量基本定理证得四点共面

法二：C1FEA，向量相等，不共线证得共面

传统方法：

法三：取A1A的三等分点K（靠近A），连D1K，证KD1//AF，KD1//C1E，从而证得C1E//AF

解（2）由共面向量基本定理可知EFAFAEbac

的xyz131

3

例3：如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，A1ADA1AB60，AB与AD夹角为60, （1）求AC1的长；

（2）求证：AC1⊥BD；

（3）求BD1与AC所成角的余弦值．

解（1）

基底化方法，

设ABa,ADb,AA1c

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鼓励学生上课大胆展示

教师准确点评

找出错解原因

方法提炼：共面定理: 四点共面问题、证明三个向量共面、直线与平面平行、直线在平面内

利用基底法更好的解决非正交分解下求模问题

易错点：直线夹角与向量夹角不同

小组讨论促进学生形成主动学习的愿望和积极参与的意识

学生充分暴露问题，师生讨论内化出三维空间常犯的错处。

学生错解：由已知得，，，，又AC1abc∴AC＝正解：＝＝AB,AD60或120，AC16或2

解（2）AC1abc，BDba，AC1BD0

61解（3）若ab，cosBD

1,AC261cosBD,AC1若ab，

122变式：底面是菱形，A1ADA1ABBAD

（1）求证：CC1BD

（2）当CD的值为多少时，能使CC1AC1面A1BD请给出证明

解（1）设

基底化方法，

设ABa,ADb,AA1c，BDba，A1AD，CC1BD0

（2）假设AC1BD,AC1A1B, AC1abc,A1Bac

AC1A1B(abc)(ac)(ac)(acbcos)

CC1

数量积运算求．

模

数量积证明垂直

数量积运算求夹角

例3变式

推广探索性问题

王菲《传奇》中有一句话：我一直在你身边，从未走远，这也是向量法的心声，他一直在你身边，从未走远，希望你能多看他一眼。

ac时AC1A1B，同理可证，当CD1时，AC1面A1BD

方法提炼：利用基底法求解在非正交分解平行六面体模型下求长度，求夹角，证垂直问题

小结： 1.向量方法把几何中的“形”和代数中的“数”结合起来，体现了数形结合的思想. 2.立体几何中的问题转化为向量问题解决，体现了转化思想的运用.

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作业布置：习题3.1A组，B组

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