1.1.3 四种命题间的相互关系教案设计（一等奖）

高二数学

四种命题间的相互关系与反证法

教学目的：

1．理解四种命题的关系，并能利用这个关系判断命题的真假

2．理解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；并能用反证法证明一些命题；

3．培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想

教学重点：理解四种命题的关系 教学难点：逆否命题的等价性

授课类型：新授课

教学过程：

一、复习提问：

1．四种命题的相互关系

2．等价转化的思想方法：互为逆否的两个命题同真同假：原命题与其逆否命题同真假，

逆命题与否命题同真假

练习1、写出下列命题的否定形式和命题的否命题

（1）

自然数的平方是正数

（2）

若x2+y2=0,则x，y全为零

分析：（1）否定形式：自然数的平方不是正数

否命题：若a不是自然数，则它的平方不是正数

（2）否定形式：若x2+y2＝0，则x,y不全为零

否命题：若x2+y2≠0，则x,y不全为零

练习5、写出下面命题的等价命题：

（1）圆内接四边形的对角互补

（2）若x=1或x=-3,则x2+2x-3=0

分析：就是写出这么命题的逆否命题

（1）对角不互补的四边形不是圆内接四边形

（2）若x2+2x-3=0，则x=1或x=-3 3．初中时我们已经学习过反证法，那什么叫反证法呢？

从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

用心

爱心

专心

互否否命题若┐p则┐q原命题若p则q互逆互为为互否逆命题若q则p互否逆否命题若┐q则┐p逆逆否互逆

二、反证法

【例1】证明2

是无理数。

分析：要证2不是一个有理数，直接去证明有困难，可以转化为证明命题2是有理数为假命题。——正难则反的思想

证明：假设2是有理数，则2可以表示为2＝p/q

(其中p、q是不可约的整数) 两边平方后得到：2＝p2/q2

即p2＝2q2 ∴p2是偶数，从而p也是偶数

于是q2=p×p/2 是偶数,∴q也是偶数

从而得到矛盾

所以假设不成立，所以2

是无理数。

思考与归纳：

(1).“2是无理数”，“2不是无理数”两个命题之间有何关系？——不具备互逆、互否、互为逆否关系，而是其中一个对另一个的否定。即对“2是有理数”的肯定判断与否定判断。亦即：p: 2是有理数。



p: 2是无理数。

(2). 要证命题p为真，通过证明命题p为假，从而肯定命题p为真的证明方法称反证法。它的逻辑关系是：命题“若p则q”的否定是“p且非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p且非q”为假，因此可知“若p则q”为真。

(3)反证法证题的一般步骤是：

①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立——

反设

②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾——

归谬（反设+条件矛盾）

③由矛盾的产生可以判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确

——否定假设，肯定结论。

【例2】证明：如果ab,那么a

证明：假设ab.

则aab.

ab.

ab.b.b.

所以aa.b.b.

即a≤b

与已知矛盾

所以假设不成立

∴ab,

注：1。用反证法证题时，应注意结论的反面有几种情形，可否统一处理。如果不能统一处理，则需分类讨论，一一归谬，才能肯定原结论成立。

已知2．矛盾定理，性质

公理，事实【例3】若p1p2=2(q1+q2)，证明：关于x的方程x2+p1x+q1=0与x2+p2x+q2=0中，至少有一个方程有实数根。

证明：假设两个方程都没有实数根，则Δ1<0, Δ2<0

从而Δ1＋Δ2<0…………………………………………………………①

用心

爱心

专心

1＋Δ2＝（p12－4q1）+（p22－4q2）= p12+p22－4(q1+q2)

由已知p1p2=2(q1+q2)可知

Δ1＋Δ2＝p12+p22－2p1p2=( p1+p2 )2≥0，这样①相矛盾，

所以假设不成立

所以所给的两个方程中至少有一个有实数根

点评：对于证结论是“至少……”，或“至多……”“存在。。。。”“不。。。”的命题，宜用反证法

【例4】若p>0,q>0,p3+q3=2,用反证法证明p＋q≥2

证明：假设p＋q<2

则4（p3＋q3）＝8<(p+q)3

4(p+q)(p2-pq+q2)<(p+q)3

由于p>0,q>0，则p＋q>0

4 (p2-pq+q2)<(p+q)2

整理得到（p－q）2<0

矛盾

所以p＋q≥2

又Δ

三、归纳小结

1．初步理解反证法的理论依据是原命题与其逆否命题的等价性。初步掌握用反证法证题的一般步骤。

2．正难则反的思想

3．对于证明结论是“至少……”，或“至多……”的命题，宜用反证法

用心

爱心

专心