1.2.1 充分条件与必要条件教学设计实例

第一章

常用逻辑用语

1.2 充分条件与必要条件（第1课时）

1.2.1充分条件与必要条件

教材分析

本节课是高中教材选修1-1第一章常用逻辑用语第二节第一课时的内容。它是在学生第一节学习了命题和四种命题的基础上进一步认知学习的。教材通过具体例子结合“若p,则q”形式的命题给出了充分条件与必要条件的概念，并引入推断符号“”。

结合本节课特点和学生的实际情况，在教学过程中，遵循学生的认知规律，充分调动学生的积极性，激发他们的学习兴趣。

培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识．

教学重点

构建充分条件、必要条件的数学意义

教学难点

充分条件与必要条件概念的理解

教具准备

多媒体课件，投影仪

教学目标

一、

知识与技能

从不同角度帮助学生理解充分条件与必要条件的意义；结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法。

二、

过程与方法

结合具体命题的分析，培养学生的抽象概括和逻辑推理的意识．

三、情感态度与价值观

通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣

教学过程

一、复习引入

1．填空

（1）命题：一般地，我们把用 表达的，可以 的陈述句叫做命题．

（2）命题的真假：判断 的语句叫真命题，判断 的语句叫假命题．

（3）命题的形式：在数学中，“ ”是命题的常见形式，其中p叫做命题的 ，q叫做命题的 ．

2．四种命题及相互关系

3. 四种命题的真假性

四种命题真假性之间的关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系。

4．请判断下列命题的真假：

（1）若xy,则x2y2; （2）若x2y2,则xy; （3）若x1,则x21; （4）若x21,则x1[来源:学.

二、讲授新课

(一)推断符号“”的含义：

一般地,如果“若p,则q”为真, 即如果成p立，那么q一定成立,记作:“pq”; q”. 如果“若p，则q”为假, 即如果p成立，那么q不一定成立,记作:“p（二）练习

1、用推断符号“和”写出下列命题：

（

）若xa2b2,则x2ab；

（2）若ab0，则a0

2、用符号“和”填空

（1）

=

； （2）内错角相等

两直线平行 （3）整数ａ能被6整除＿＿＿ａ的个位数字为偶数

（三）充分条件与必要条件

一般地，如果pq，那么称p是q的充分条件；同时称q是p的必要条件．

（四）如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？

由上述定义知“pq”

表示有p必有q，所以p是q的充分条件；q是p的必要条件说明没有q就没有p,q是p成立的必不可少的条件,但有q未必

一定有p. 充分性：说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．它符合上述的“若p，则q”为真（即pq）的形式．“有之必成立，无之未必不成立”．

必要性：必要就是必须，必不可少．它满足上述的“若非q，则非p”为真的形式．“有之未必成立，无之必不成立”．

例如:（1）因为若x>a2+b2，则x>2ab 为真命题 即：x>a2+b2x>2ab 所以：x>a2+b2

是x>2ab的充分条件

x>2ab 是x>a2+b2的必要条件

（2）因为若ab=0，则a=0 为假命题 a=0 即：ab=0 所以：ab=0 不是a=0的充分条件

a=0 不是ab=0 的必要条件。 命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：

（1）充分必要条件（充要条件），即

pq且qp；

（2）充分不必要条件，即pq且qp；

（3）必要不充分条件，即pq且qp；

（4）既不充分又不必要条件，即pq且qp．

三、例题讲解

例1、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件? (1)若 x=1,则x2 -4x+3=0; (2)若f(x)=x,则f(x)为增函数; (3)若x为无理数,则x2为无理数

解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以，命题（1）（2）中的p是q的充分条件。

例2、下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p 的必要条件? （1）若

，则

=

；

（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；

（3）若a

则

解：命题（1）（2）是真命题，命题（3）是假命题，所以，命题（1）（2）中的q是p的必要条件。

思考：

（1）结合例1（1）例2（2），你能从集合的包含关系来判断充分条件与必要条件吗？（p对应的集合为P,q对应的集合为Q）

提示：p ⇒q，则P ⊆Q ，p是q的充分条件，q是p的必要条件。

(2)若p是q的充分条件,p是唯一的吗?

提示:不一定唯一,凡是能使q成立的条件都是它的充分条件,如x>3是x>0的充分条件,x>5,x>10等都是x>0的充分条件. (3)“若﹁p,则﹁q”为真命题,则p是q的什么条件? 提示:“若﹁p,则﹁q”为真命题,则其逆否命题“若q,则p”也为真命题,即q⇒p,故p是q的必要条件. 四、课堂练习

1. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件? （1）若两个三角形全等，则这两个三角形相似；

（2）人x

,则x

。

2. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p 的必要条件? （1）若a+5是无理数，则a是无理数；

（2）若（

）

）

，则

3.判断下列命题的真假：

（1）x=2是

的必要条件；

（2）圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的必要条件；

（3）

是

的充分条件；

（4）ab

0是a

0的充分条件。

五、小结

1．充分条件、必要条件的概念．

充分条件是使某一结论成立应该具备的条件，即要使此结论成立，只要具备此条件就足够了．（有它，足以）

必要条件可从命题等价性理解：p⇒q等价于

﹁

q⇒

﹁

p，意味着若q不成立，则p不成立，即q是p成立的必不可少的条件．（缺它，不可）

2.

充分条件、必要条件的判定方法主要有: ①定义法；②集合法；③等价命题法．

六．课后作业

1.判断下列命题的真假：

（1）“

”是“

”的充分条件；

（2）“ ＝ ”是“

”的必要条件。

2.下列各题中，p是q的什么条件？

（1）p:

, q：

；

（2）p:

, q:

且

；

（3）p:

, q:

；

（4）p:

, q:

；

（5）p:三角形是等边三角形, q:三角形是等腰三角形。

测评练习

1、选择题

（1）“x2>2 012”是“x2>2 011”的(

)．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

（2）

“|x|＝|y|”是“x＝y”的(

)．

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

（3）

设p：1＜x＜2，q：2x＞1，则p是q成立的(

)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2．指出下列命题中，p是q的什么条件？

(1)p：x2＝2x＋1，q：x＝2x＋1；

(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；

(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；

(4)p：sin α＞sin β，q：α＞β. 3.

已知p：－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．