1.4.1 全称量词设计意图

1．4

全称量词与存在量词

1．4.1

全称量词

1．4.2

存在量词

一、基础达标

1．下列命题：

①中国公民都有受教育的权利；

②每一个中学生都要接受爱国主义教育；

③有人既能写小说，也能搞发明创造；

④任何一个数除0，都等于0. 其中全称命题的个数是(

) A．1 C．3 答案

C 解析

命题①②④都是全称命题．

2．下列命题中的假命题是(

) A．∃x∈R，lg x＝0 C．∀x∈R，x3>0 答案

C π解析

对于A，当x＝1时，lg x＝0，正确；对于B，当x＝4时，tan x＝1，正确；对于C，当x＜0时，x3＜0，错误；对于D，∀x∈R,2x＞0，正确．

3．下列命题中特称命题的个数是(

) ①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sin x|≤1. A．0 C．2 答案

B B．1

D．3 B．∃x∈R，tan x＝1 D．∀x∈R,2x>0 B．2

D．4

1

解析

命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题．故有一个特称命题．

4．下列全称命题中真命题的个数为(

) ①负数没有对数；

②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；

③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点；

④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0. A．1 C．3 答案

C 解析

①②③为真命题．

5．给出以下命题：

①∀x∈R，有x4>x2；

②∃α∈R，使得sin 3α＝3sin α；

③∃a∈R，对∀x∈R，使得x2＋2x＋a<0. 其中真命题的个数为________．

(1)0

(2)1

(3)2

(4)3 答案

(2) 解析

①中，当x＝0时，x4＝x2，故为假命题；②中，当α＝kπ(k∈Z)时，sin 3α＝3sin α成立；③中，由于抛物线开口向上，一定存在x∈R，使x2＋2x＋a≥0，显然为假命题，故选(2)．

6．下列命题中，既是真命题又是特称命题的是________．

(1)存在一个α，使tan(90°－α)＝tan α

π(2)存在实数x0，使sin x0＝2

(3)对一切α，sin(180°－α)＝sin α

(4)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β

答案

(1) 解析

只有(1)、(2)两个选项中的命题是特称命题，而由于|sin x|≤1，所以sin B．2

D．4

2

πx0＝2不成立，故(2)中命题为假命题．

又因为当α＝45°时，tan(90°－α)＝tan α，故(1)中命题为真命题．

7．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假．

(1)存在一条直线，其斜率不存在；

(2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；

(3)存在实数x0，使得1＝2. x20－x0＋1解

(1)是特称命题，用符号表示为“∃直线l，l的斜率不存在”，是真命题．

(2)是全称命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题．

(3)是特称命题，用符号表示为“∃x0∈R，二、能力提升

8．给出下列四个命题：

①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；

③∃x，y∈R，x2＋y2≤1；

④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1. 其中全称命题是________．

答案

①②④

解析

①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”．

9．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案

(－∞，3] 解析

对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3. 10．下面四个命题：

①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；

③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R,4x2>2x－1＋3x2. 其中真命题的个数为________．

答案

0 解析

x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0

3 ＝2”，是假命题．

x20－x0＋11

才成立，∴①为假命题．

当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题．

对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题．

4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，

即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题．

∴①②③④均为假命题．

11．已知命题p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．

解

∀x∈[1,2]，x2－a≥0，即a≤x2，

当x∈[1,2]时恒成立，∴a≤1. ∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0，

即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，

∴Δ＝4a2－4(2－a)≥0.∴a≤－2或a≥1. a≤1，又p∧q为真，故p、q都为真，∴

a≤－2或a≥1，∴实数a的取值范围为a≤－2或a＝1. 12．已知函数f(x)＝x2－2x＋5. (1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；

(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．

解

(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时m>－4. (2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x)．

若存在实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min. 又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4. 故所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．

三、探究与创新

13．若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．

解

(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；

4

(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．

又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1. 综上所述，当m＝0时，a∈R；

当m≠0，a∈[－1,1]．

5