1.1.2 四种命题课时教案

1．1.3 四种命题间的相互关系

整体设计

教材分析

本节内容介绍四种命题间的相互关系，互为逆否的命题具有相同的真假性．关于命题之间的等价性的证明有不同的方法，教学中不要求借助真值表表述互为逆否命题的两个命题之间的等价性．在直接证明原命题有困难时，可以考虑证明与它等价的逆否命题，这种方法是间接证明命题的方法，是反证法的一种．

课时分配

1课时

教学目标

知识与技能

让学生会分析四种命题之间的关系以及真假性之间的关系，会利用命题的等价性解决问题. 过程与方法

通过实例分析及类比方法进行探索研究，引导学生理解归纳本节的主要内容，培养学生归纳类比知识的能力. 情感、态度与价值观

通过教学，使学生学会运用观察、类比、检验等合情推理的方法，提高学生的逻辑推理能力，培养学生勇于探索的意志和品质．

重点难点

教学重点：分析四种命题之间的关系以及真假性之间的联系，利用命题的等价性解决问题．

教学难点：分析四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．

教学过程

引入新课

请同学们观察下面四个命题： 命题1：若f(x)是正弦函数，

则f(x)是周期函数；

命题2：若f(x)是周期函数，

则f(x)是正弦函数；

命题3：若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；

命题4：若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．

我们已经知道命题1与命题2、3、4之间的关系．若把命题2看成原命题，则命题1、3、4分别是它的什么命题？若把命题3、4分别看成原命题呢？

活动设计：学生独立思考，然后小组交流并回答问题．

学情预测：问题难度不大，学生能都积极回答，课堂气氛热烈．

活动结果：若把命题2看成原命题，则命题1、3、4分别是它的逆命题，逆否命题和否命题．若把命题3看成原命题，则命题1、2、4分别是它的否命题，逆否命题和逆命题．若把命题4看成原命题，则命题1、2、3分别是它的逆否命题，否命题和逆命题．可以发现，命题2、3互为逆否命题，命题2、4是互否命题，命题3、4是互逆命题．

设计意图：通过思考，使学生复习回顾上一节学习的知识，为学习新知作准备 . 探究新知

一般地，互逆命题、互否命题与互为逆否命题是说明两个命题的关系，把其中一个命题称为原命题时，另一个命题就是原命题的逆命题，否命题或逆否命题，四种命题的关系可用下图表示：

提出问题

问题1：上面考查了四种命题之间的相互关系，它们的真假性是否也有一定的关系呢？

活动设计：以命题1～4为例，并设命题1为原命题，判断它们的真假．然后让学生以2“若x－3x＋2＝0，则x＝2”为原命题，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并判断这些命题的真假．

学情预测：学生在积极思考，片刻，有学生举手回答且回答准确．

活动结果：原命题1是真命题，它的逆命题2是假命题，它的否命题3也是假命题，而2它的逆否命题4是真命题．命题“若x－3x＋2＝0，则x＝2”是假命题，它的逆命题“若x22＝2，则x－3x＋2＝0”是真命题；它的否命题“若x－3x＋2≠0，则x≠2”是真命题；它2的逆否命题“若x≠2，则x－3x－2≠0”是假命题．

设计意图：在具体实例分析的基础上进行抽象提炼，使学生初步体会四种命题真假性之间的关系．

问题2：再分析其他的一些命题，你能从中发现四种命题的真假性之间有什么规律吗？

活动设计：学生思考，分组交流，发表自己的看法. 学情预测：学生在积极思考，踊跃发言，举出的例子有很多．有课本例题、课后习题，自己思考后的例子．教师在肯定成绩的同时，指出不足，并补充．对于四种命题都是假命题的例子学生感到比较困难．

活动结果：如何来寻找规律，当变化比较多时，我们可以先固定一个不变，看其余的变化，例如原命题为真的时候，其余3个命题如何．

寻找规律：(1)原命题为真，逆否命题也为真．

(2)原命题为假，逆否命题也为假．

原命题与逆否命题同真假．

逆命题与否命题同真假．

结论： (1)两个命题互为逆否命题时，它们有相同的真假性．

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系．

一般地，四种命题的真假性，有且仅有下面四种情况：

原命题

真命题

假命题

真命题

假命题

逆命题

真命题

真命题

假命题

假命题

否命题

真命题

真命题

假命题

假命题

逆否命题

真命题

假命题

真命题

假命题

注：1.目前不能证明．

2．四种命题真假的个数可能为：0,2,4. 3．原命题与逆(否)命题没有必然的真假关系．

4．由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

设计意图：教师的启发提问与学生的自主探索相结合，师生以一种平等民主的方式进行教与学．在对话中，师生互相影响，互相补充，互相促进，最终共同进步．

理解新知

2问题1：有这样一个命题“若x＋2x－m＝0没有实根，则m<0”；小明利用Δ＝4＋4m <0，2求出m <－1，所以认为是假命题；小华考查了它的逆否命题“若m≥0，则x＋2x－m＝0有实根”，发现若m≥0，则Δ>0，所以方程有实数根；根据互为逆否命题同真假，认为原命题

是真命题．你认为呢？

问题2：“不打不相识”“不经历风雨，怎么见彩虹”这两句话正确吗？

活动设计：学生思考后，自由发言 . 学情预测：学生对问题1的回答有难度；问题2学生的回答有争议．

活动结果：问题1：小华的回答正确，小明的回答错误．因为由m <－1可推出m<0. 问题2：原命题：若两个人不打架，则这两个人不会相识．

逆否命题：若两个人相识，则这两个人打架．

F 原命题：若不经历风雨，则不见彩虹．

逆否命题：若见彩虹，则经历风雨．

T 以上判断只是建立在数学的角度上．生活中，这些俗话都是使用的引申意义，就像“不打不相识”中的“打”，实际可以理解为交流沟通，是否正确错误就是另一回事了．

设计意图：提出问题比起解决问题更有意义，使学生形成克服困难的主动积极的心理倾向，并将学生的思维引向深入，由感性上升到理性. 运用新知

1写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出真假．

(1)2是最小的正偶数．

(2)四条边相等的四边形是正方形．

思路分析：解答本题可先分清命题的条件和结论，改写成“若p，则q”的形式，再写出它的逆命题、否命题与逆否命题．

解：(1)原命题：若一个数是2，则这个数是最小的正偶数．

(真命题) 逆命题：若一个数是最小的正偶数，则这个数是2 . (真命题) 否命题：若一个数不是2，则这个数不是最小的正偶数．

(真命题) 逆否命题：若一个数不是最小的正偶数，则这个数不是2. (真命题) (2) 原命题：若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．

(假命题) 逆命题：若一个四边形是正方形，则它的四条边相等．

(真命题) 否命题：若一个四边形的四条边不全相等，则它不是正方形．

(真命题) 逆否命题：若一个四边形不是正方形，则它的四条边不全相等．

(假命题) 点评：本例可利用“两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性”进行判断、验证.

巩固练习

判断下列说法是否正确．

(1)一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真．

(2)一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真．

(3)一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假．

(4)一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假．

答案：(1)对

(2)对

(3)错

(4)错

22判断命题“若m>0，则方程x＋2x－3m＝0 有实数根”的逆否命题的真假．

思路分析：解答本例可以先判断原命题的真假，然后利用等价命题的同真同假判断. 解：∵m>0，∴12m>0. ∴12m＋4>0. 2∴方程x＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0. 2∴原命题“若m>0，则方程x＋2x－3m＝0 有实数根”为真．

2又因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以“若m>0，则方程x＋2x－3m＝0 有实数根”的逆否命题也为真．

点评：命题可以和很多知识相结合，本题是一道有关不等式、二次函数的综合题，这种题目综合性较强，需要对这几个方面的内容熟练掌握，且具有一定的分析推理能力．

223证明若x＋y＝0，则x＝y＝0. 22思路分析：将“若x＋y＝0，则x＝y＝0.”视为原命题．要证明原命题为真命题，可22以考虑证明它的逆否命题“若x，y中至少有一个不为0，则x＋y≠0”为真命题，从而达到证明原命题为真命题的目的．

222证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x>0，所以x＋y>0，这与已知22条件x＋y＝0矛盾，故x＝y＝0.

这表明原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题．

点评：当证明或判断原命题感到困难时，可考虑换证它的逆否命题成立，这样也可达到证明原命题的目的．值得注意的是，此证法与反证法不同，反证法是通过否定结论的反面而达到目的的，而逆否命题的证法是证明它的等价命题成立，二者有一定的联系．

变练演编

22变式1、已知a，x为实数，判断命题“若关于x的不等式x＋(2a＋1)x＋a＋2≤0的解集是空集，则a<2”的逆否命题的真假．

变式2、证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0. 活动设计：学生思考后，让两名学生板演，其他学生练习 . 活动成果：

22变式1、∵关于x的不等式x＋(2a＋1)x＋a＋2≤0的解集是空集，

722∴Δ＝(2a＋1)－4(a＋2)＝4a－7<0，即a<.∴a<2. 42因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以“若关于x的不等式x＋(2a＋1)x2＋a＋2≤0的解集是空集，则a<2”

的逆否命题也为真．

变式2、证明：若a＋b<0，则a<－b，b<－a，

又∵函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，

∴f(a)< f(－b)，f(b)< f(－a)．

∴f(a)＋f(b)

这与已知条件f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)矛盾，

故a＋b≥0. 设计意图：使学生在已有知识的基础上，学会运用原命题和它的逆否命题有相同的真假性这一结论解决问题，使学生解决问题的能力得到进一步提高．

达标检测

1．命题a为原命题，它的逆命题、否命题和逆否命题分别为b，c，d，若命题b为真命题，那么下列一定为真命题的是(

) A．a B．c C．d D．以上都不正确

2．命题“若p不正确，则q正确”的逆命题的等价命题是(

) A．若q不正确，则p不正确 B．若q不正确，则p 正确

C．若p正确，则q不正确 D．若p正确，则q正确

3．四种命题真假的个数可能为________个．

答案：1.B 2.C 3.0或2或4 课堂小结

1．知识收获：四种命题之间的关系以及真假性之间的关系．

2．方法收获：归纳、类比．

3．思维收获：化归思想、正难则反思想．

设计意图：让学生自己小结，加深对本堂课内容的认识．

布置作业

1．课本本节练习

2．课本习题1.1 A组

4 B组

补充练习

基础练习

1．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是________．

2．命题“若a，b都是奇数，则a＋b是偶数”的逆否命题是________(填“真”或“假”)命题．

223．“若不等式x＋px＋q≥0的解集为R，则p－4q≤0”的逆命题是______________，否命题是________________，逆否命题是________________，以上命题中真命题的个数为________．

24．命题“二次函数y＝ax＋bx＋c中，若b＝a＋c，则该二次函数不存在零点”，判断

其逆否命题的真假．

5．判断命题“若x＋y≤5，则x≤2或y≤3”的真假．

答案：

1．若A∪B≠B，则A∩B≠A 2．真

2223．若p－4q≤0，则不等式x＋px＋q≥0的解集为R

若不等式x＋px＋q≥0的解集222不是R，则p－4q>0 若p－4q>0，则不等式x＋px＋q≥0的解集不是R

4 24．因为Δ＝(a－c)≥0，所以原命题为假；其逆否命题也为假．

5．真命题

因为其逆否命题“若x>2且y>3，则x＋y>5”为真命题，故原命题为真．

拓展练习

26．已知命题P：lg(x－2x－2)≥0的解集是A；命题Q：x(4－x)≤0的解集不是B.若P是真命题，Q是假命题，求A∩B. 22解：由lg(x－2x－2)≥0，得x－2x－2≥1，

∴x≥3或x≤－1.∵命题P真，

∴A＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

由x(4－x)≤0得x≤0或x≥4，

∵命题Q假，

∴B＝{x|x≤0或x≥4}．

∴A∩B＝(－∞，－1]∪[4，＋∞)．