2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系课堂实录

2.1.3

空间中直线与平面之间的位置关系

整体设计

教学分析

空间中直线与平面之间的位置关系是立体几何中最重要的位置关系，直线与平面的相交和平行是本节的重点和难点.空间中直线与平面之间的位置关系是根据交点个数来定义的，要求学生在公理1的基础上会判断直线与平面之间的位置关系.本节重点是结合图形判断空间中直线与平面之间的位置关系. 三维目标

1.结合图形正确理解空间中直线与平面之间的位置关系. 2.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换. 3.进一步培养学生的空间想象能力. 重点难点

正确判定直线与平面的位置关系. 课时安排

1课时

教学过程

一、导入新课

情景1：飞机航线所在直线与地面有哪些位置关系呢？飞机双翅所在平面与地面有哪些位置关系呢？

情景2：围成长方体的六个面，两两之间的位置关系有几种?

我们今天就来学习: 2.1.3--2.1.4直线与平面、面面之间的关系. 二、新知探究与解题研究（认真阅读教材，完成下列各题）

(一)问题导学

问题1：一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面，可能有几种位置关系？

【答案】三种位置关系

问题2：如图，线段A′B所在直线与长方体的六个面所在平面有几种位置关系？

【答案】三种位置关系：在面内，与平面相交，与平面平行

问题3：如何用图形语言表示直线与平面的三种位置关系? 【答案】如下图所示：

问题4：如何用符号语言表示直线与平面的三种位置关系？

【答案】a,a

A,a//

问题5：围成长方体的六个面，两两之间的位置关系有几种?

【答案】平行、相交

（二）知识运用与解题研究

例1

若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系.

解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.

图5 用符号语言表示为：若a∩b＝A,bα,则aα或a∩α＝A. 变式训练

若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系. 分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.

图6 用符号语言表示为：若a与b异面,aα,则b∥α或b∩α＝A. 点评：判断直线与平面的位置关系要善于找出空间模型，结合图形来考虑，注意考虑问题要全面. 例2

若直线a不平行于平面α,且aα,则下列结论成立的是(

) A.α内的所有直线与a异面

B.α内的直线与a都相交

C.α内存在唯一的直线与a平行

D.α内不存在与a平行的直线

分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且aα,则a与平面α相交.

图7

例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B相交，直线CD与直线A′B异面，所以A、B都不正确；平面ABCD内不存在与a平行的直线，所以应选D. 答案：D 变式训练

不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且Aα,给出以下三个命题：

①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交. 其中真命题是_____________. 分析：如图8,三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，

图8

其中真命题是①. 答案：①

变式训练

若直线aα,则下列结论中成立的个数是(

) (1)α内的所有直线与a异面

(2)α内的直线与a都相交

(3)α内存在唯一的直线与a平行

(4)α内不存在与a平行的直线

A.0

B.1

C.2

D.3 分析：∵直线aα,∴a∥α或a∩α＝A. 如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.

图9 答案：A 点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维. 知能训练

已知α∩β＝l,aα且aβ,bβ且bα,又a∩b＝P. 求证：a与β相交,b与α相交. 证明：如图10,∵a∩b＝P,

图10 ∴P∈a,P∈b. 又bβ,∴P∈β. ∴a与β有公共点P,即a与β相交. 同理可证,b与α相交. 拓展提升

过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行？

解：(1)如图11, C′D′与BD是异面直线，可以过P点作一个平面与两异面直线C′D′、BD都平行.如图12,

图11

图12

图13 显然，平面PQ是符合要求的平面. (2)如图13,当点P与直线C′D′确定的平面和直线BD平行时，不存在过P点的平面与两异面直线C′D′、BD都平行. 点评：判断一个命题是否正确要善于找出空间模型（长方体是常用空间模型），另外考虑问题要全面即注意发散思维. 课堂小结

本节主要学***面的位置关系，直线与平面的位置关系有三种：

①直线在平面内——有无数个公共点, ②直线与平面相交——有且只有一个公共点, ③直线与平面平行——没有公共点.

另外，空间想象能力的培养是本节的重点和难点. 作业

课本习题2.1

A组7、8. 设计感想

本节内容较少，教材没有讨论线面平行的判定和性质，只介绍了直线与平面的位置关系，因此认为本节空洞无物，那就错了.直线与平面的位置关系是立体几何的重要位置关系，虽没有严格推理和证明，却正好发挥我们空间想象能力和发散思维能力；本节的设计充分利用空间模型展现直线与平面的位置关系，提出了一些具有挑战性的问题以激发学生的空间想象能力和发散思维能力.