小结名师教学设计2

圆锥曲线与方程小结（一）

一、教学分析设计

【教材分析】

从教材的编排来看，在必修课程学***面解析几何初步的基础上，本模块中，共安排了三个小节，一节椭圆，一节双曲线，一节抛物线．这三节的内容基本上都是通过“画曲线，给定义，建系，找方程，利用方程研究几何性质”的方法来研究这三种曲线的．要求学生了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的简单几何性质，以及用坐标法研究平面几何问题的具体过程，感受圆锥曲线在解决实际问题中的重要作用，体现了数形结合的重要数学思想，而本节课是对整章内容的再次升华，通过课本中看似零散的例题寻找通性通法，形成结论，完善圆锥曲线的统一性结论．虽然在高中教材中，每种曲线只给出了一种定义，但从课本的例题习题与阅读材料上可以看出，教材中有意地传递出它们的其它定义的存在，学生也有必要高屋建瓴地对它们做一个提升.本章之所以将椭圆、双曲线、抛物线三种曲线放在一起研究复习，不仅因为它们的研究方法相同，还因为它们有着诸多的相似性质和结论，只有我们真正找出它们的性质与结论之间的区别与联系，才能更清楚地认识、掌握这三种曲线．

【学生分析】

本节课是学生在学习完新课后对圆锥曲线章节开设的复习课，学生已掌握了椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及简单几何性质，能运用这些性质解决简单的实际问题，但知识还是零碎的，知识间的内在联系、研究方法还比较模糊，特别是学生尚未学习后续的《归纳推理》这一章节的内容，对于如何类比、观察发现、总结可能还存在一定的难度，

这个探究总结过程没有老师的引导，还是很难完成的．教师需要带领学生在对比中猜想结论，并进行论证. 【目标分析】

《圆锥曲线与方程》是人教A版数学选修1-1第二章，要求学生了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想．本节课所讲内容力图通过联系例题习题对比，完成新的知识构建，提高学生类比学习、总结归纳、探中求知的能力．在课本探究部分帮助学生题中抽知，动态生成一般性结论．根据以上分析，确定教学目标如下：

结果性目标：学生能从具体例题、习题中总结出一般性结论，能通过实例探究回顾圆锥曲线的相关知识并能发现圆锥曲线中的一些统一性问题．

体验性目标：学生通过对比课本中圆锥曲线的共同特点时，体验到椭圆与双曲线之间的进一步的关联，能在解决问题的过程中体会到“归纳探究”、“类比探究”等推理方法中蕴含的特殊与一般、特殊与特殊之间的关联． 【技术分析】

PPT:呈现课堂内容,让学生感受更直观,加深理解

黑板:用于板书本堂课的清晰脉络、研究内容和学生展示的解题方法

投影仪：展示学生的解答过程

【核心问题分析】

本节课的内容重在发现结论，需要运用归纳推理和类比推理这些基本的推理方法，让学生在观察中形成结论.高中数学核心素养强调，教师应该加强学习方法的引导，使学生“会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界”，所以本节课核心问题必须指令明确简洁，基于上述考虑，本节课的核心问题确立如下：

核心问题：解答以下课本例题并回答下列问题，通过“归纳探究”和“类比探究”得出圆锥曲线的一些统一性结论

二、

教学实施设计

【教学环节】

教学环

节

学生活动

学生通过回顾圆锥曲线定义初步体验到定义的统一性

学生明确核心问题，开始积极思考，进行归纳探究．

教师活动

一、复习回顾：圆锥曲线的定义

二、提出问题：圆锥曲线还有哪些统一结论

核心问题：解答以下课本例题并回答下列问题，通过“归纳探究”和“类比探究”得出圆锥曲线的一些统一性结论

题1：（2.1.1椭圆及其标准方程p35例3）设点A,B的坐标分别为提出

问题

（3分钟）

直线AM,BM相交于(5,0),(5,0)，点M，且它们的斜率之积为动点M的轨迹方程．

题2：（2.2.1双曲线及其标准方程p48探究问题）设点A,B的坐标分别为设计意图

圆锥曲线的定义也称“第一定义”，为后续“第三定义”、“第二定义”的提出和一脉相承埋下伏笔

这部分以课本的两个题目为例，让学生带着问题展开探究，实现了“源于课本，而高于课本”的引申过程．

4，求9(5,0),(5,0)，直线AM,BM相交于点M，且它们的斜率之积为4，9求动点M的轨迹方程．

问题一：请同学们完成以上两题的解答，通过对比，你能否猜想出一个一般性结论并证明你的猜想. 学生代表上台展示结果．平面内一动点与两

定点的连线的斜率之解

决

积为定值，记为m，问

题

（22若m0，则动点的轨分钟）

迹（包括两定点）为双

曲线；若m0且

m1，则动点的轨

迹（包括两定点）为椭学生在解决问题一的过程中教师请学生代表展示解法．更重要的是，引导学生对比这两道题的异同总结一般性结论．

接着教师再引导学生进行进一步的思考：

学生先是带着问题展开探究，总结结论，展示成果，完成“归纳探究”．

接下来进行了知识的迁移，让学生以圆的某个与斜率有关的性质为出发点，探究椭圆

圆；若m1，则动

问题二：圆上任意一点M与一直径的与双曲线是否有相应性质，完成“类比探究”．

同时，问题二得到点的轨迹（包括两定点）为圆．

问题二可让学生进行分组，分椭圆小组和双曲线小组分别猜想并证明．

两个端点A、B（M与A、B互异）的结论也是问题的连线的斜率之积等于1，那么类比椭圆和双曲线，又可得到什么结论呢？

一的结论从特殊到一般的上升过程，思维层层递进．

反思

提升

（5分钟）

学生代表谈自己通过这节课的学习有哪些收获

一、知识上：两个结论

二、方法上：归纳，类比

本节课所涉及到的数学思想方法有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、归纳推理、类比推理和特殊到一般的推理方法等。在课堂教学中，教师不需要刻意去突现这些思想方法，而是随着教学过程的逐步深入去逐步渗透，逐步培养学生的数学意识与素养，达到“润物细无声”的效果．教师让学生代表谈谈本节课的收获，帮助学生梳理知识与方法，提高学习效率，培养学生学习中的反思习惯．

1.（2011年湖北卷节选）平面内与两定点A1(a,0)、A2(a,0)(a0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；

2．完成下列两道题，对比抛物线定义，你能得出椭圆、双曲线、抛物线有什么共同特点？

题1．（2.1.2椭圆及其简单的几何性质p41例6）点M(x,y)与定点这两部分的探究，体现了新课标以“问题驱动教学”的教学理念，培养了学生“归纳推理，类比推理”的数学思想方法，符合高中数学核心素养的培养要求．

运用

反馈

（10分钟）

第一题是对学生本节课主要内容的再次梳理，学生自主完成

第二题是对课本又一姊妹题的挖掘，学生通过前面的推理方面的迁移，再次猜想论证出一个统一性结论

F(4,0)的距离和它到直线本节课的结论与高考题有机结合，既体现了探究的价值，也培养了学生接收新知识的能力．

第二题实则是椭圆与双曲线的第二定义，此题的设置可结合课本后的“阅读材料”，让学生拓展知识面，再次巩固推理

的方法. 425l:x的距离的比是常数，求54点M的轨迹．

题2．（2.2.2双曲线及其简单的几何性质p52例5）点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到直线l:x的距离的比是常数迹．

1655，求点M的轨4【评价预设】

1.提出问题环节:例题选自教材，难度不大，起点较低，学生能够很快解决相关问题并进一步思考两道题的共性，饶有兴趣地得出所要归纳的结论，初步体验到成功的喜悦．

2.解决问题环节：学生代表应该能较为顺利地完成问题一，但在这几个方面可能有所不足：①只对斜率之积的数值进行了一般化分析讨论，未对两个动点进行一般化处理②可能在分类讨论时遗漏m1的情况③m为负值时没有进一步细分探究双曲线的不同焦点位置对应的m的范围．针对这些问题，教师应该帮助学生完成归纳探究时对数据的一般化处理，对于含参问题，提醒学生分类要全面，养成严谨的数学思维．完成问题二难度较大，思维层次较高的同学可能能够理解指令，但抽象思维不太强的学生可能对指令不大明确，无从着手，教师要根据课堂的表现情况适时将文字性问题具体化，避免学生出现盲目与无助.

3.反思提升环节：在解决问题的过程中学生对探究数学问题的方法有了一定的认识，教师鼓励学生归纳方法与心得，同时帮助学生运用规范的数学语言进行表述，从方法上和思想上进行梳理，优化学生的知识结构，加深对知识间内在联系的理解与认识．

4.运用反馈环节：所选习题来自高考，探究结论与高考题有机结合，既体现了探究的价值，也培养了学生接收新知识的能力．而此后的探究问题，是想让学生通过例题复习椭圆、双曲线的简单几何性质，这部分的设计既是呼应前面对椭圆、双曲线的探究，也是考虑到作为小结课，基本知识的复习是必不可少的．学生分组合作完成，体验成功的喜悦．

【板书设计】

圆锥曲线与方程小结（一）

一．提出问题

三．反思提升

核心问题：解答以下课本例题并回答下列问题，

结论一：

通过“归纳探究”和“类比探究”得出圆锥曲线的

结论二：

一些统一性结论

探究方法：归纳，类比

二．解决问题

四．运用反馈

问题一：

问题二：

【教学流程】

开始

明确核心任务

提出核心问题

积极思考、解决问题

巡视、呈现典型解法

在交流分享中完善解题方法

引导、点拨

归纳提升（方法上、思想上）

提升讲解、引导

完成反馈问题

巡视，引导，作出恰当点评

结束

三、教后评价反馈

【信息搜集】

为了检验本节课教学目标的达成情况，上完本节课后，教师会搜集学生的学案，以运用反馈的题2的解题过程为检测工具检验目标达成情况，课后共搜集了全班42人的反馈结果．

【自我评价】

对搜集的42份学生运用反馈检测单进行批改、整理、统计，以及对是否达成结果性目标和体验性目标进行分析，分类后完成了下面的点检测表（见附录），总体情况良好，绝大多数学生很好地完成了相应习题，并猜想出一般性结论.从课堂实施情况、学生课堂表现情况、运用反馈检测情况和与学生访谈情况来看，还有以下不足：

（1）在课堂实施情况看来，运用反馈环节十分仓促，整堂课的节奏前松后紧，教师需要在提出问题环节控制时间、精简语言，为后面的环节挤出时间. （2）本节课教师在学生展示的环节，教师干预过多，可发挥集体的力量，给更多同学发言的机会，生生互动完善知识的归纳.

核心问题教学评价表

课题名称：圆锥曲线与方程小结（一）

核心问题: 解答以下课本例题并回答下列问题，通过“归纳探究”和“类比探究”得出圆锥曲线的一些统一性结论

评价指标

评价目标

一级指标

二级指标

三级指标

8 6 8 7 7 8 8 7 7 8 7 8 每项指标最高评8分

合计分89 内含学科问题和学生活动方式

核心问题

问题情景与真实生活密切相关

利于活动体验

能引发新知识、新方法的生成

两类目标正确全面

教学目标

关联体验目标恰当

价值引导恰当

目标价值引导显现

教学环节清晰完整

教学环节

环节内容合理充实

完整合理落实

学生活动时间充分

问题目标环节两两匹配

教学要素

技术促进活动形式内容

相互匹配促进

学科特点突出氛围浓郁

课堂与现实世界有恰当关联

拓展学习视野

有基于缄默知识的问题解决

有缄默知识运用的追踪剖析

有真实而且完整的实践活动

投入实践活动

能够全身心地浸渍于活动中

评价结果

具有核心问题教学形态

实现活动体验中的学习与发展具有核心问题教学实质

活动的内容结果均丰富深入

有核心问题的深层意义感受

感受意义关联

有以知识为中心的关联感受

有以个人为中心的关联感受

有实质性反思活动的开展

自觉反思体验

有课堂新因素的追踪利用

有体验的交流与改善重构

乐于自我的表达与认真的倾听

乐于对话分享

乐于合作中成果与思路的分享

有宽容的对话氛围和多向交流

认可体验评价

认同体验评价

参与体验评价

利用体验评价

选择一个表现突出的二级指标，在相应三级指标引导下，以现场学生表现为依据，于本表的第二页写出150字以上的简要评价。

核心问题教学实质的简要评价（包括发展性建议）：

为何椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线，除了以圆锥模型正好可以构造出这三种模型这种解释以外，其实我们还可以有更多的解释，这三种曲线特别是椭圆与双曲线之间还有大量的共同性质. 本堂课在核心问题教学实质中帮助学生建立起了

‘感受意义关联’下的

‘有以知识为中心的关联感受’,教学活动源于教材，教学展开又高于教材. 问题一选择课本上现有的问题，归纳在一起，得到统一结论. 让学生感觉课本可以给我们很多信息，而我们又可以在这些信息上进一步拓展，显示了教材的重要性和指导性；二是学生自主性、探究性程度高，思维活跃. 这节课教师在学生复习方向上给予了恰到好处的指导，学生能做的尽量让学生自己做，学生能说的就尽量让学生自己说，充分体现了学生学习的自主性与探究性；

三是问题主导，引人入胜，这节课围绕一个核心问题，进行探究，让学生兴趣盎然，原来这种问题，可以展开这么多，高考也考了，是不是还有一些类似的问题还可以这样拓展呢？在问题教学中，复习了圆锥曲线的基本概念、方程及性质. 还让学生体会到了圆锥曲线的内在的联系与统一性. 激发了学生的求知欲望. 我想时间允许的话，接下来，还可以让学生自己去挖掘圆锥曲线在其他方面的统一性，如定义，某些题型的统一解法；四是突出数学思想方法，问题1到结论1是归纳，问题2到结论2是类比，结论1到结论2之间又存在归纳，让学生享受到数学思想之美. 另外，本节课有个最大的问题，就是本节课设计到的圆锥曲线只有椭圆与双曲线，只要通过课外探究中的两道题才能将抛物线与他们统一起来.

【反馈调整】

体验性目标点检测表

执教教师

基本

年

级

信息

课题名称

核心

问题

圆锥曲线与方程小结（一）

高二

上课时间

2018年12月25日

齐俊丽

学

科

数学

解答以下课本例题并回答下列问题，通过“归纳探究”和“类比探究”得出圆锥曲线的一些统一性结论

结果性

学生能从具体例题、习题中总结出一般性结论，能通过实例探究回顾圆锥曲线的相关知识并能发现圆锥曲线中的一些统一性问题．

学生通过对比课本中圆锥曲线的共同特点时，体验到椭圆与双曲线之间的进一步的关联，能在解决问题的过程中体会到“归纳探究”、“类比探究”等推理方法中蕴含的特殊与一般、特殊与特殊之间的关联． 教学

目标

目标

体验性

目标

由具体题目的完成情况观察学生是否体验到圆锥曲线的统一特征，是否体验到“归纳探究”、检测点

“类比探究”推理方法中蕴含的特殊与一般、特殊与特殊的关联．

完成下列两道题，对比抛物线定义，你能得出椭圆、双曲线、抛物线有什么共同特点？

题1．（2.1.2椭圆及其简单的几何性质p41例6）点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到425的距离的比是常数，求点M的轨迹．

检测工直线l:x54具（题）

题2．（2.2.2双曲线及其简单的几何性质p52例5）点M(x,y)与定点F(5,0)的距离和它到直线l:x检测

统计

（学生总人数：42 A 定点为焦点，定值为离心率．学生深度体验到了“归纳探究”、“类比探究”推165的距离的比是常数，求点M的轨迹．

54分类标准

能够正确完成两道题，且能归纳出三种曲线的共同定义，即第二定义，能发现23 54% 学生人数

所占百分比

分类等级

人）

理方法中蕴含的特殊与一般、特殊与特殊的关联．

能够正确完成两道题，能得出一些模糊的结论，部分发现定点、定值与相应曲B 线的关系．还不能深度体验到两种探究方法．

能正确完成两道题，但不能探究出任何C 结论，只能在知识上达到要求，在体验性目标未能达成．

无法完成检测题，对圆锥曲线中的相关D 知识掌握不好，结果性路标与体验性目标上均未能达成．

通过反馈结果,有54%的学生能够正确完成两道题，且能归纳出三种曲线的共同定义，即第二定义，能发现定点为焦点，定值为离心率．学生深度体验到了“归纳探究”、“类比探究”推理方法中蕴含的特殊与一般、特殊与特殊的关联，很好地完成结果性目标和体验性目标；有10%的同学较好地达成体验性目标，正确完成两道题，能得出一些模糊的结论，部分发现定点、定值与相应曲线的关系．还不能深度体验到两种探究方法；有17%的同学能正确完成两道题，但不能探究出任何结论，只能在知识上达到要求，在体验性目标未能达成；有8 19% 7 17% 4 10% 检测

分析

19%的同学无法完成检测题，对圆锥曲线中的相关知识掌握不好，结果性路标与体验性目标上均未能达成．

故总的说来，绝大多数同学通过课堂上的合作探究相互交流，达成了结果性目标，他们能够很快寻求到这一类问题的解法——通过类比找到共性，再猜想可能存在的结论，并加以证明，但依旧有少部分同学的观察力还不够强，能够完成具体题目，但还不够大胆地进行猜想，

教师应指导学生将从数据上进行分析，将代数量对应的几何意义提炼出来．

另外针对关联体验不足的少部分同学，需要教师课下与学生交流，找出原因，帮助学生感受到本节课的关联体验，争取让每一位同学都有所收获．

体验典型实例

该生能够准确完成两道题，并基本看出了圆锥曲线的统一性定义，类比归纳能力突出，只是在对具体数值的几何属性上还可以再作出更大胆的猜想. 根据学生的完成情况，发现检测题题干指令不明确，在归纳提升上难度较大，故在检测题的检测

反馈

题干可添加“你能猜想这些点的坐标、直线的方程、比值与圆锥曲线的哪些几何量有关吗？你能否推导出一般性的结论并证明”，给学生提示思考的方向，培养学生发现问题并解决问题的能力。