3.1.3 导数的几何意义优质课一等奖

导数的几何意义（第一课时）

一、学情分析：

学生已经通过实例经历了由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解了瞬时变化率就是导数，体会了导数的思想和实际背景，也对常见的基本初等函数和求导运算有了一定的基础准备，但是对于导数在研究函数性质中有什么作用还不够理解，多数同学对此有相当的兴趣和积极性。学生在学习时可能会遇到以下困难，比如从割线到切线的过程中采用的逼近方法，理解导数就是曲线上某点的斜率等等。 二、教法分析：

本节课采用教师引导与学生自主探究相结合，交流与练习相穿插的活动课形式，以学生为主体，教师创设和谐、愉悦的环境及辅以适当的引导。同时，利用多媒体形象动态的演示功能提高教学的直观性和趣味性，以提高课堂效率。教学中注重数形结合，从形的角度对概念理解和运用。在这个过程中培养学生分析解决问题的能力，培养学生讨论交流的合作意识。

三、教学目标：

1、知识与技能: 通过实验探求和理解导数的几何意义；

体会导数在刻画函数性质中的作用；体会“以直代曲”的数学思想方法。

2、过程与方法：

培养学生分析、抽象、概括等思维能力；

通过“以直代曲”思想的具体运用，使学生达到思维方式的迁移，从而达到培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。

3、情感态度与价值观：渗透逼近和“以直代曲”思想，激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知识的精神，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力学生学数学，用数学的意识。

四、教学重难点：

1.教学重点：理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及应用于解决实际问题，体会数“形结合、以直代曲”的思想方法。

2.教学难点：1.发现和理解导数的几何意义；

2.运用导数的几何意义解释函数变化的情况和解决实际问题。

五、教学方法：探究性研究教学、互动式讨论、反馈式评论和启发式小结；

六、学法：自主、合作、探究

七、教学用具：通过多媒体（几何画板、幻灯片）直观的呈现出函数的图像，使学生对其有丰富的感性认识，增大教学容量与直观性，有效提高教学效率和教学质量。

八、教学过程：

1.

回顾旧知、引出研究的问题：

f(x0x)f(x0)ylim.定义：函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是limx0xx0x

我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作: f(x0)或y|xx0,

即：f(x0)limf(x0x)f(x0)ylim.

x0xx0x求函数y=f(x)在点x0处的导数的基本方法是: (1)求函数的增量yf(x0x)f(x0);yf(x0x)f(x0)(2)求平均变化率;xx

(3)取极限，得导数f(x0)limy.x0x

提出问题，老师引导学生回忆联系本节课的旧知识，承上启下，复习旧知，引入新课。

教师板书，便于学生数形结合探究导数的几何意义。突破平均变化率的几何意义，后面在表

示割线斜率时能直接联系此知识。同时引出本节课的研究问题——导数的几何意义是什么？2.新课讲授

（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2，当Pxn,f(xn)(n1,2,3,4)n(趋近于点P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？（动画演示）

沿着曲线f(x)

图3.1-2 我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时,割线PPn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

k问题：⑴割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率有什么关系？

⑵切线PT的斜率k为多少？

容易知道，割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点P时，kn无xnx0x0限趋近于切线PT的斜率k，即klimf(x0x)f(x0)f(x0)

x说明：（1）设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.

这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质—函数在xx0处的导数. 用逼近的方法体会割线逼近切线，消除学生对极限的神秘感。

肯定学生的研究结果，并引导学生把这种由割线逼近的方法得到切线推广到一般曲线，并由此得出割线的变化趋势，为研究几何意义做好铺垫

（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关;2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个. 3.获得导数的几何意义

①割线PPn的斜率是knf(x0x)f(x0), (x0x)x0k②当点Pn沿着曲线无限接近点P时，kn无限趋近于切线PT的斜率，即

klimx0f(x0x)f(x0)f(x0)，切线PT的斜率k即为函数在xx0处的导数。

x/导数的几何意义：fx0lim的导数f/x0fx0xf(x0)＝切线的斜率。所以，函数f(x)在xx0处xx0的几何意义就是函数f(x)的图像在xx0处的切线AD的斜率。

师：由导数的几何意义，我们可以解决哪些问题？

③函数f(x)在点x0处的导数f(x0)、导函数f(x)、导数

之间的区别与联系。

1）函数在一点处的导数f(x0)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，不是变数。

2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，

就是函数f(x)的导函数 3）函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f(x)在xx0处的函数值，这也是

求函数在点x0处的导数的方法之一。

4.导数几何意义的应用

138x上一点P(2,)，求：33(1)点P处的切线的斜率；（2）点P处的切线方程

例：已知曲线y=例．（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

h(x)4.9x26.5x10，根据图像，探究

1．用图形来体现导数h(1)3.3，h(0.5)1.6的几何意义，并用数学语言表述出来。2．变式（如图）：请描述、比较曲线h(t)在t0,t1,t2附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在t3,t4附近呢？

分析：附近：瞬时、增减、变化率，即研究函数在该．．．．．点处的瞬时变化率，也就是导数。可借助切线的变化趋势得到导数的情况。

//

要求学生动脑(审题),动手(画切线)，动口(讨论)，体会利用导数的几何意义及运用导数来研究函数在某点附近的单调性，渗透“数形结合”的思想方法，运用以直代曲的思想方法。

小结：附近：瞬时，增减：变化率，即研究函数在该点处的瞬时变化率，也就是导数。．．．．．导数的正负即对应函数的增减。作出该点处的切线，可由切线的升降趋势，得切线斜率的正负即导数的正负，就可以判断函数的增减性，体会导数是研究函数增减、变化快慢的有效工具。同时，结合以直代曲的思想，在某点附近的切线的变化情况与曲线的变化情况一样，也可以判断函数的增减性。 函数的增减导数的正负切线的斜率的正负

例题变式：下图是函数yf(x)的图象，请回答下面的问题：

1.

请指出函数的单调区间，并用导数的几何意义说明。

2.根据上题的结论，研究某点处的导数值、切线的斜率和函数的单调性之间有何关系？

结合导数的几何意义说明单调性，学生进一步感知导数在研究函数变化情况中的应用

5.课堂练习：

1.求曲线y3x24x2在点M（1，f1）处的切线方程。2.已知函数y=xlnx(1)求这个函数的导数

(2)求这个函数在点x=1处的切线方程

学生练习，归纳球切线方程的步骤

6.归纳总结、深化认识

这节课我们学习了哪些知识和方法？

7.

作业与练习

(1)评测练习：(2)拓展作业：

求过点（3,5）且与曲线yx2相切的切线方程。

8.板书设计

1、1、3导数的几何意义

1、

2、

3、

曲线的切线

切线的斜率 举例

导数的几何意义