1.2.1 充分条件与必要条件第二课时教学实录

课 题

充分条件与必要条件

教学目的：

1.使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用

2.在师生、学生间的数学交流中增强逻辑思维活动，渗透辩证思想，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础. 教学重点：正确理解充分条件和必要条件概念，并在分析中正确判断

教学难点：充分性与必要性的推导顺序

内容分析：

这一大节通过若干实例，讲述充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．

这一大节的重点是充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的逻辑思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．

关于充分条件、必要条件与充要条件，本章对教学要求的尺度，还是控制在对初中代数、几何的有关问题的理解上为宜．

教学过程：

一、实例引入：

《墨经》中有这样一段话：

“有之则必然，无之则未必不然，是为大故”. “有之则未必然，无之则必不然，是为小故”. 思考下面两句话中的逻辑

灾后重建的新面貌，充分说明社会主义制度非常优越

要想在高考中取得好成绩，平时的努力学习是必要的

在数学中也有“充分”与“必要”之说. 二、讲解新课：

⒈符号“”的含义

前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假. “若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作pq，或者qp；如果由p推不出q，命题为假，记作pq. 简单地说，（板书）“若p则q”为真，记作pq（或qp）；

“若p则q”为假，记作pq（或qp）.

符号“”叫做推断符号. （板书）例如，“若x>0，则x>0”是一个真命题，可写成：x>0 x>0；

又如，“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真命题，可写成：22两三角形全等两三角形面积相等. 说明：⑴“pq”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”. ⑵“pq”也可写为“qp”，有时也用“p→q”. 练习：课本P35练习：1⑴⑵⑶⑷. 答案：⑴；⑵；⑶；⑷. ⒉什么是充分条件？什么是必要条件？

师：“”象一支箭吗?我们把“”看成一支箭，哪是箭头，哪是箭尾？

生：（学生容易答出）

师：如果箭没有箭头行吗？箭头是不是必要的呢？

生：（学生也容易答出）

师：（统一认识）箭头是必要的条件，即箭头是箭尾的必要条件；而箭只有两头，所以我们反过来说箭尾是箭头的充分条件。

引导学生得出：pq：箭尾是箭头的充分条件，p是q的充．．．．分条件。箭头是箭尾的必要条件，q是p的必要条件。【板书】

．．．．（板书）如果已知pq，那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件. 22在上面是两个例子中，“x>0”是“x>0”的充分条件，“x>0”是“x>0”的必要条件；“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件. ⒊充分条件与必要条件的判断

1.直接利用定义判断：即“若pq成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”.（条件与结论是相对的）

三、范例

例1

指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：

22⑴ p：x=y；q：x=y. ⑵ p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等. 分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断. 22解：⑴由pq，即x=yx=y，知p是q的充分条件，q是p的必要条件. ⑵由pq，即三角形的三条边相等三角形的三个角相等，知p是q的充分条件，q是p的必要条件；

又由qp，即三角形的三个角相等三角形的三条边相等，知q也是p的充分条件，p也是q的必要条件. 练习：课本P35练习：2⑴⑵⑶⑷. 答案：⑴∵pq，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；

⑵∵qp，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件；

⑶∵pq，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵qp，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件. ⑷∵pq，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵qp，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件. 以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断. 2.利用逆否命题判断：（板书）即“若┐q┐p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”. 若用集合观点又怎样解释呢？请同学们想一想. 四、练习：

（补充题）用“充分”或“必要”填空，并说明理由：

⒈“a和b都是偶数”是“a+b也是偶数”的

充分

条件；

⒉“四边相等”是“四边形是正方形”的

必要

条件；

⒊“x3”是“|x|3”的

充分

条件；

⒌“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的

充分

条件；

⒍“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的必要条件；

22⒎对于一元二次方程ax+bx+c=0（其中a,b,c都不为0）来说，“b-4ac0”是“这个方程有两个正根”的

必要

条件；

⒏“a=2，b=3”是“a+b=5”的

充分

条件；

五、小结：

本节主要学习了推断符号“”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法. 判断充分条件与必要条件的依据是：

若pq（或若┐q┐p），则p是q的充分条件；

若qp（或若┐p┐q），则p是q的必要条件. 六、作业：

1．课本P34-35内容，熟悉巩固有关内容. 2．设A是C的充分条件，B是C的充分条件，D是C的必要条件，D是B的充分条件，那么，D是A的什么条件？A是B的什么条件？

解：由题意作出逻辑图（右图），便知，

D是A的必要条件；A是B的充分条件.