1.1.1 命题教案教学设计导入设计

第2节

命题及其关系、充分条件与必要条件

最新考纲

1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.

知

识

梳

理

1.命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其相互关系

(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性. ②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p是q的必要不充分条件

p是q的充要条件

p是q的既不充分也不必要条件

[常用结论与微点提醒] 1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论. 2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BB(B⇒A且AB)两者的不同. A)，与A的充分不必要条件是pp⇒q且qpp

q且q⇒p

p⇔q

q且qp

3.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件. 4.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，

(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件. (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件. (3)若A＝B，则p是q的充要条件. 诊

断

自

测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)“x2＋2x－3<0”是命题.(

) (2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.(

) (3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.(

) (4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.(

) 解析

(1)错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.

(2)错误.否命题既否定条件，又否定结论. 答案

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

π2.(选修2－1P6练习引申)命题“若α＝4，则tan α＝1”的逆否命题是(

) πA.若α≠4，则tan α≠1

πC.若tan α≠1，则α≠4

πB.若α＝4，则tan α≠1 πD.若tan α≠1，则α＝4

解析

命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：tan αππ≠1，綈p：α≠4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠4”.

答案

C 3.(2017·天津卷)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的(

) A.充分而不必要条件

C.充要条件

B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.

当x≤2时不一定有x≥0，而当0≤x≤2时一定有x≤2，

∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件. 答案

B

4.(2017·北京卷)能够说明“设a，b，c是任意实数.若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________. 解析

a>b>c，取a＝－2，b＝－4，c＝－5，

则a＋b＝－6

答案

－2，－4，－5(答案不唯一) 15.(2018·安徽江南十校联考)“a＝0”是“函数f(x)＝sin x－x＋a为奇函数”的________条件. 1解析

显然a＝0时，f(x)＝sin x－为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＋f(x)＝x0.

又f(－x)＋f(x)＝sin(－x)－因此2a＝0，故a＝0.

所以“a＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件. 答案

充要

考点一

命题及其相互关系

【例1】

以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号). ①“若log2a>0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；

②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；

③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；

④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价. 解析

①不正确.由log2a>0，得a>1，∴f(x)＝logax在其定义域内是增函数.

②正确.由命题的否命题定义知，该说法正确.

③不正确，原命题的逆命题为：“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4为偶数，但1和3均为奇数.④正确.两者互为逆否命题，因此两命题等价. 答案

②④

规律方法

1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：

11＋a＋sin x－x＋a＝0.

－x

(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.

2.(1)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.

(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.

【训练1】

(1)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(

) A.真、假、真

C.真、真、假

B.假、假、真

D.假、假、假

(2)(2018·广东广雅中学联考)给出下列命题：

①“∃x0∈R，x20－x0＋1≤0”的否定；

②“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题；

③命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题. 其中真命题的个数是(

) A.0

B.1

C.2

D.3 解析

(1)由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假.

(2)①的否定是“∀x∈R，x2－x＋1>0”是真命题，①正确；②的否命题是“若x2＋x－6<0，则x≤2”，由x2＋x－6<0，得－3

(1)B

(2)C 考点二

充分条件与必要条件的判定

【例2】

(1)(2017·北京卷)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(

) A.充分而不必要条件

C.充分必要条件

B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

(2)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(

) A.充要条件

B.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

C.必要不充分条件

解析

(1)存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|2<0，因而是充分条件，反之m·n<0，不能推出m，n方向相反，则不是必要条件.

/(2)x>y⇒

x>|y|(如x＝1，y＝－2).

但x>|y|时，能有x>|y|≥y.

∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.

答案

(1)A

(2)C 规律方法

充要条件的三种判断方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.

(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题. xe，x≥－1，【训练2】

(1)(2018·江西九江十校联考)已知函数f(x)＝则ln（－x），x<－1，“x＝0”是“f(x)＝1”的(

) A.充要条件

B.充分不必要条件

D.既不充分也不必要条件

C.必要不充分条件

(2)(2017·浙江卷)已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的(

) A.充分不必要条件

C.充分必要条件

B.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

解析

(1)若x＝0，则f(0)＝e0＝1；若f(x)＝1，则ex＝1或ln(－x)＝1，解得x＝0或x＝－e.故“x＝0”是“f(x)＝1”的充分不必要条件.

(2)由S4＋S6－2S5＝S6－S5－(S5－S4)＝a6－a5＝d，

当d＞0时，则S4＋S6－2S5＞0，即S4＋S6＞2S5；

反之，S4＋S6＞2S5，可得d＞0.所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件. 答案

(1)B

(2)C

考点三

充分条件、必要条件的应用(典例迁移) 【例3】

(经典母题)已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围. 解

由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}. ∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P. 1－m≥－2，∴解得m≤3. 1＋m≤10，又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0. 综上，可知当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件. 【迁移探究1】

本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？并说明理由. 解

由例题知P＝{x|－2≤x≤10}. 若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

1－m＝－2，m＝3，∴∴

1＋m＝10，m＝9，这样的m不存在. 【迁移探究2】

本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围. 解

由例题知P＝{x|－2≤x≤10}. ∵綈P是綈S的必要不充分条件，

∴P是S的充分不必要条件，

∴P⇒S且SP. ∴[－2，10][1－m，1＋m]. 1－m≤－2，1－m<－2，∴或

1＋m>101＋m≥10，∴m≥9，则m的取值范围是[9，＋∞). 规律方法

充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.

(2)要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.

【训练3】

(2018·长郡中学联考)若x>2m2－3是－1

) A.[－3，3]

B.(－∞，－3]∪[3，＋∞) C.(－∞，－1]∪[1，＋∞)

D.[－1，1] 解析

∵“x>2m2－3”是“－1

答案

D

(2m2－