1.2.1 中心投影与平行投影教学目标设计

《中心投影与平行投影》教学设计

一、教学目标

1.通过观察几何体结构特征，掌握棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的三视图，培养学生学会观察、分析、推理、论证的思维方法，培养学生空间想象能力。

2.了解中心投影和平行投影的概念，理解并掌握三视图的投影规律. 3.能画出简单空间图形（如长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图. 4.能根据三视图，运用空间想象能力，识别并说出它所表示的空间图形

二、教学重点：画出三视图、识别三视图. 三、教学难点：识别三视图所表示的空间几何体. 教学过程：

一、新课导入：

1. 讨论：能否熟练画出上节所学习的几何体？工程师如何制作工程设计图纸？

2. 引入：从不同角度看庐山，有古诗：“横看成岭侧成峰，远近高低各不同。不识庐山真面目，只缘身在此山中。”

对于我们所学几何体，常用三视图和直观图来画在纸上. 三视图：观察者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形；

直观图：观察者站在某一点观察几何体，画出的空间几何体的图形. 用途：工程建设、机械制造、日常生活. 二、讲授新课：

1. 教学中心投影与平行投影：

①

投影法的提出：物体在光线的照射下，就会在地面或墙壁上产生影子。人们将这种自然现象加以科学的抽象，总结其中的规律，提出了投影的方法。

②

中心投影：光由一点向外散射形成的投影。其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形. ③

平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影. 分正投影、斜投影. →

讨论：点、线、三角形在平行投影后的结果. 2. 教学柱、锥、台、球的三视图：

①

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、

俯视图

②

讨论：三视图与平面图形的关系？

→

画出长方体的三视图，并讨论所反应的长、宽、高

③

结合球、圆柱、圆锥的模型，从正面（自前而后）、侧面（自左而右）、上面（自上而下）三个角度，分别观察，画出观察得出的各种结果. →

正视图、侧视图、俯视图.

③

试画出：棱柱、棱锥、棱台、圆台的三视图. （

④

讨论：三视图，分别反应物体的哪些关系（上下、左右、前后）？哪些数量（长、宽、高）

正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；

俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

⑤

讨论：根据以上的三视图，如何逆向得到几何体的形状. （试变化以上的三视图，说出相应几何体的摆放）

3. 教学简单组合体的三视图：

①

画出教材P16 图（2）、（3）、(4)的三视图. ②

从教材P16思考中三视图，说出几何体. 4. 练习：

①

画出正四棱锥的三视图. ④

画出右图所示几何体的三视图. ③

右图是一个物体的正视图、左视图和俯视图，试描述该物体的形状.

三、例题选讲

例1

下列说法中：

①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线.其中正确的个数为(

)

A.0

B.1

C.2

D.3 【知识点】平行投影和中心投影的定义和性质

【数学思想】

【解题过程】由平行投影和中心投影的定义可知①正确；空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，②不正确；两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线，③不正确. 【思路点拨】准确理解平行投影和中心投影定义，结合生活中的实例加以解决．

【答案】B 同类训练

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)矩形的平行投影一定是矩形．(

) (2)平行四边形的平行投影可能是正方形．(

) (3)两条相交直线的平行投影可能平行．(

) (4)如果一个三角形的投影仍是三角形，那么它的中位线的平行投影，一定是这个三角形的平行投影的中位线．(

) 【知识点】平行投影的性质．

【数学思想】

【解题过程】利用平行投影的概念和性质进行判断

【思路点拨】准确平行投影性质

【答案】

(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

例2

如图点E，F分别是正方体的面ADD1A1和面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是图中的________．(要求把可能的序号都填上)

【知识点】正投影的概念．

【数学思想】由一般到特殊

【解题过程】利用点B、F、D1，E在正方体各面上的正投影的位置来判断．其中(2)可以是四边形BFD1E在正方体的面ABCD或在面A1B1C1D1上的投影．

(3)可以是四边形BFD1E在正方体的面BCC1B1上的投影．

【思路点拨】1.画一个图形在一个投影面上的投影的关键是确定该图形的关键点(如顶点，端点等)及这些关键点的投影，再依次连接就可得到图形在投影面上的投影．

投影问题与垂直关系紧密联系，投影图形的形状与投影线和投射图形有关系，在解决有些投影问题时，常借助于正方体模型寻求解题方法．

【答案】

(2)(3) 同类训练

1．如图，在正方体ABCD­A′B′C′D′中，E、F分别是A′A、C′C的中点，则下列判断正确的是________．

①四边形BFD′E在底面ABCD内的投影是正方形；

②四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是菱形；

③四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影与在面ABB′A′内的投影是全等的平行四边形．

【知识点】正投影的概念．

【数学思想】由一般到特殊

【解题过程】①四边形BFD′E的四个顶点在底面ABCD内的投影分别是点B、C、D、A，故投影是正方形，正确；②设正方体的边长为2，则AE＝1，取D′D的中点G，则四边形BFD′E在面A′D′DA内的投影是四边形AGD′E，由AE∥D′G，且AE＝D′G，∴四边形AGD′E是平行四边形．但AE＝1，D′E＝5，故四边形

AGD′E不是菱形；对于③，由②知是两个边长分别相等的平行四边形，从而③正确．

【思路点拨】投影的关键是图形的关键点(如顶点，端点等)及这些关键点的投影，再依次连接就可得到图形在投影面上的投影即可. 【答案】

①③

●活动④

强化提升、灵活应用

例3 如图是按不同方式放置的同一个圆柱，阴影面为正面，画出其三视图.

【知识点】三视图的作法. 【数学思想】由一般到特殊，多角度看待问题. 【解题过程】

【思路点拨】(1)务必做到“长对正，高平齐，宽相等”.

(2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方. (3)画完三视图草图后，要再对照实物图来验证其正确性. (4)在三视图中，要注意同一个几何题位置不同所得三视图是不一样的. 【答案】三视图分别如图所示.

四、同类训练

1.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（

）

A.①②

B.①③

C.①④

D.②④

【知识点】常见几何体的三视图

【数学思想】

【解题过程】正方体的三视图都是正方形，所以①不符合题意，排除A、B、C. 【思路点拨】常见几何体的三视图熟练掌握

【答案】D. 五. 课堂总结

知识梳理

（1）中心投影：光由一点向外散射形成的投影。其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形. （2）平行投影：在一束平行光线照射下形成的投影，分正投影、斜投影

（3）正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）

侧视图（从左向右）

俯视图（从上到下）

重难点归纳

（1）中心投影和平行投影的性质. （2）三视图的作法规律．

（三）课后作业