1.1.3 四种命题间的相互关系优秀教学设计

昆十七中高中二年级数学教案

1.1.3

四种命题间的相互关系

教学目标

1.了解命题的原命题、逆命题、否命题与逆否命题. 2.理解四种命题之间的关系，会利用互为逆否命题的等价关系判断命题的真假．

教学重点

命题的概念和四种命题间的相互关系

新课引入：

知识点一

四种命题的概念

思考

分析下列四个命题，请指出命题(1)的条件和结论分别与其它三个命题的条件和结论间的关系．

(1)若α＝β，则sin α＝sin β；

(2)若sin α＝sin β，则α＝β；

(3)若α≠β，则sin α≠sin β；

(4)若sin α≠sin β，则α≠β. 答案

命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了．命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．

新课讲授：

(1)四种命题的概念

对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这样的两个命题叫做互逆命题，如果恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么把这样的两个命题叫做互否命题，如果恰好是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这样的两个命题叫做互为逆否命题，把第一个叫做原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．

(2)四种命题结构

知识点二

四种命题之间的相互关系

知识点三

四种命题的真假性之间的关系

思考

如果原命题是真命题，那么它的逆命题、否命题、逆否命题一定是真命题吗？

答案

原命题是真命题，其逆否命题一定是真命题；

而逆命题、否命题不一定是真命题．

梳理

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

1．任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．(

√

) 2．两个互逆命题的真假性相同．(

×

) 3．四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.(

√

) 题型探讨：

类型一

四种命题的概念

命题角度1

四种命题的概念

例1

写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．

(1)若x∈A，则x∈(A∪B)；

(2)若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；

(3)在△ABC中，若a>b，则A>B. 考点

四种命题

题点

四种命题概念的理解

解

(1)逆命题：若x∈(A∪B)，则x∈A. 否命题：若x∉A，则x∉(A∪B)．

逆否命题：若x∉(A∪B)，则x∉A. (2)逆命题：若a＋b是偶数，则a，b都是偶数．

否命题：a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数．

逆否命题：若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数．

(3)逆命题：在△ABC中，若A>B，则a>b. 否命题：在△ABC中，若a≤b，则A≤B. 逆否命题：在△ABC中，若A≤B，则a≤b. 反思与感悟

(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．

(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．

跟踪训练1

命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是(

) A．若loga2<0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数

B．若loga2≥0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数

C．若loga2<0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数

D．若loga2≥0(a>0，a≠1)，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数

考点

四种命题

题点

四种命题概念的理解

答案

B 解析

直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数．

命题角度2

四种命题的相互关系

例2

若命题p：“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是(

) A．互为逆命题

B．互为否命题

C．互为逆否命题

D．同一命题

考点

四种命题的相互关系

题点

四种命题相互关系的应用

答案

B 解析

已知命题p：若x＋y＝0，则x，y互为相反数．

命题p的否命题q为：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，

命题q的逆命题r为：若x，y不互为相反数，则x＋y≠0，

∴r是p的逆否命题，

∴r是p的逆命题的否命题，故选B. 反思与感悟

判断四种命题之间四种关系的两种方法

(1)利用四种命题的定义判断．

(2)巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系．

跟踪训练2

已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a＝1且b＝2，则a＋b<4”，则命题p的否命题是__________________________________．

考点

四种命题的相互关系

题点

四种命题相互关系的应用

答案

若实数a，b满足a＋b≥4，则a≠1或b≠2 解析

由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得．

类型二

四种命题的真假判断

例3

下列命题：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；

②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题；

③“梯形不是平行四边形”的逆否命题；

④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题．

其中是真命题的是________．

考点

四种命题的真假判断

题点

利用四种命题的关系判断真假

答案

①②③

解析

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题．故填①②③. 反思与感悟

要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．

类型三

等价命题的应用

例4

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．

考点

四种命题的相互关系

题点

逆否证法

解

方法一

原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅，判断如下：

二次函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，

令x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0，

则Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.

因为a<1，所以4a－7<0，

即关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅.故此命题为真命题．

方法二

利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．

因为关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，

所以(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，

7即4a－7≥0，解得a≥>1，

4所以原命题为真，故其逆否命题为真．

跟踪训练4

证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1. 考点

四种命题的相互关系

题点

逆否证法

证明

命题“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若

4b2－2a＋1＝0”．

由a＝2b＋1，得a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2×(2b＋1)＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b－2＋1＝0，

显然原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题．故原命题得证．

课堂小结

相互关系

四种命题

真假关系

a＝2b＋1，则a2－