3.1.3 空间向量的数量积运算板书设计及意图

§3.1.3空间向量的数量积运算

课题：3.1.3空间向量的数量积运算

(人教版普通高中课程标准实验教科书)选修2-1 教学目标: 知识目标：①

掌握空间向量的数量积公式及向量的夹角公式；

②

运用公式解决立体几何中的有关问题。

能力目标：①

比较平面、空间向量，培养学生观察、分析、类比转化的能力；

②

探究空间几何图形，将几何问题代数化，提高分析问题、解决问题的能力。

情感目标：①

通过师生的合作与交流，体现教师为主导、学生为主体的教学模式；

②

通过空间向量在立体几何中的应用，提高学生的空间想象力，培养学生探索精神和创新意识，让学生感受数学，体会数学美的魅力，激发学生学数学、用数学的热情。

教学重点：空间向量数量积公式及其应用。

教学难点：如何将立体几何问题等价转化为向量问题；在此基础上，通过向量运算解决立体几何问题。

教学方法：采取启发引导、形数转化、反馈评价等方式；

学生学法：体现自主探索、观察发现、类比猜想等形式。

课型：新授课

教具：多媒体投影仪

授课教师：宋正道

授课过程：

1.复习引入(1)”数量积”概念提出的背景:如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所作的功

WFS|F||S|cos,为了在数学中体现”功”的这样一个标量,我们引入了”数量积”的概念. (2)平面向量的数量积定义:我们把

|a||b|cos叫做向量a与b的数量积(或内积,点积)记作ab,其中是a和b的夹角,范围是0

注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量.02时,ab0, 2时,ab0, 2时, ab0

规定:0a0

(3)平面向量的数量积的几何意义: 数量积ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcos的乘积.

(4)平面向量的数量积的主要性质:设a,b是两个非零向量

①abab0

数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件

同向时,abab;当向量a与b反向时,abab

②当a与b特别地,aaa或aaa

用于计算向量的模

③cos2

abab

用于计算向量的夹角

2.平面向量数量积满足的运算律

①交换律:abba②对数乘的结合律:(a)b(ab)a(b)③分配律:(ab)cacbc

注意:数量积不满足结合律,即:(ab)ca(bc)

问题:C

如图,线段AB,BD在平面内,BDAB,AC,ABa,BDb,ACc,

cDaABb

求C,D之间的距离以及异面直线CD与AB所成的角的余弦值.

这时候我们发现平面向量的数量积运算已经无法解决三维空间中的长度和夹角问题了,这时我们需要寻求空间向量的运算来求解空间中的夹角和长度. 3.两个空间向量数量积的定义:因为空间任意的两个向量总是共面的,所以对于两个非零向量a,b,总可以在空间中任取一点O,使OAa,OBb,从而可知角AOB为向量a与b的夹角，记作：a,b范围：0a,b

a,b＝b,a,

特别的:a,b2时,则称a与b互相垂直，并记作：ab

注意:OA,OBOA,OBOA,OB

ab,即ababcosa,b

而abcosa,b叫做空间两向量a,b的数量积，记作：

abaA bO B 空间向量的数量积的几何意义:数量积ab等于a的长度a与b在a的方向上的投影bcosa,b的乘积.

空间向量的数量积的主要性质:设a,b是两个非零向量

①abab0

数量积为零是判定两非零向量垂直的充要条件

同向时,abab;当向量a与b反向时,abab

②当a与b特别地,aaa或aaa

用于计算向量的模

③cosa,b2

abab

用于计算向量的夹角

空间向量数量积满足的运算律

①交换律:abba②对数乘的结合律:(a)b(ab)a(b)③分配律:(ab)cacbc

注意:数量积不满足结合律,即:(ab)ca(bc)

回到开头的问题上来

如图,线段AB,BD在平面内,BDAB,AC,ABa,BDb,ACc,

求C,D之间的距离以及异面直线CD与AB所成的角的余弦值. 解:因为AC,所以ACBD,ACAB,又知BDAB,所以

ACBD0,ACAB0,, ABBD0cDaABbC|CD|2CDCD(CAABBD)(CAABBD)|CA|2|AB|2|BD|2a2b2c2,

所以|CD|a2b2c2

CDAB(CAABBD)AB0a20acos

222222222|CD||AB|aabcaabcabc4.空间向量数量积在立体几何中的应用: 例1:如图:PO,PA分别是平面的垂线、斜线,AO是PA在平面内的射影,l,lOA,求证:lPA. 证明:取直线l的方向向量a,同时取向量PO,OA,因为lOA,所以OAa0

因为PO,且l,所以lPO,因此POa0,又因为

P O A l

aPAa(POOA)aPOaOA0,所以lPA.

例2:如图:m,n是平面内的两条相交直线,如果lm,ln,求证:l. 证明:在内任作一直线g,分别在l,m,n,g上取非零向量l,m,n,g.

因为m与n相交,所以向量m,n不平行.由向量共面的充要

条件知,存在唯一的有序实数对(x,y),

lg 

n 

m 使gxmyn,将上式两边与向量l作数量积,得lgxlmyln,由lm,ln知lm0,ln0所以lg0.从而lg,即lg,由g的任意性知, l. 思考题1:

若将例1命题改为: PO,PA分别是平面的垂线、斜线,AO是PA在平面内的射影,l,lPA, 求证:lOA.你能用向量方法证明吗? 思考题2: 已知线段AB在平面内,线段AC,,线段BDAB,线段DD',DBD'30,如果ABa

0ACBDb,求C、D之间的距离.

CDbbaD'5.小结:1.空间向量的数量积运算公式,以及相关的主要性质和运算律. 2.利用空间向量的数量积知识,证明了立体几何中的两个定理(即:三垂线定理及线面垂直的判定定理),解决了立体几何中关于长度与夹角的求解问题,了解了立体几何问题代数化的基本思考方法. 6.布置作业:《高中教学与测试

数学》活页本P181

23.空间向量的数量积(1)

AB