习题4.1优质课教案设计

圆的方程

●知识梳理

1.圆的方程

（1）圆的标准方程

圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程为（x－a）2+（y－b）2=r2. 说明：方程中有三个参量a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程

二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0.（*）

将（*）式配方得

（x+）2+（y+）2=. 当D2+E2－4F＞0时，方程（*）表示圆心（－，－），半径r=的圆，把方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E2－4F＞0）叫做圆的一般方程. 说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：

a.x2、y2项系数相等且不为零. b.没有xy项. （2）当D2+E2－4F=0时，方程（*）表示点（－，－），当D2+E2－4F＜0时，方程（*）不表示任何图形. （3）据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. （3）圆的参数方程

①圆心在O（0，0），半径为r的圆的参数方程为

x=rcosθ，

y=rsinθ

②圆心在O1（a，b），半径为r的圆的参数方程为

x=a+rcosθ，

y=b+rsinθ

说明：在①中消去θ得x2+y2=r2，在②中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程. 2.二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件

若上述二元二次方程表示圆，则有A=C≠0，B=0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分.

在A=C≠0，B=0时，二元二次方程化为x2+y2+x+y+=0，

仅当（）2+（）2－4·＞0，即D2+E2－4AF＞0时表示圆. 故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：①A=C≠0，②B=0，③D2+E2－4AF＞0. ●点击双基

1.方程x2+y2－2（t+3）x+2（1－4t2）y+16t4+9=0（t∈R）表示圆方程，则t的取值范围是

A.－1

B.－1

C.－

D.10，得7t2－6t－1<0，

即－

A.｜a｜＜1

B.a＜

C.｜a｜＜

D.｜a｜＜

解析：点P在圆（x－1）2+y2=1内部

（5a+1－1）2+（12a）2＜1

｜a｜＜. 答案：D

3.已知圆的方程为（x－a）2+（y－b）2=r2（r>0），下列结论错误的是

A.当a2+b2=r2时，圆必过原点

B.当a=r时，圆与y轴相切

C.当b=r时，圆与x轴相切

D.当b

解析：已知圆的圆心坐标为（a，b），半径为r，当b

4.（2005年北京海淀区期末练习）将圆x2+y2=1按向量a平移得到圆（x+1）2+（y－2）2=1，则a的坐标为____________.

解析：由向量平移公式即得a=（－1，2）. 答案：（－1，2）

5.已知P（1，2）为圆x2+y2=9内一定点，过P作两条互相垂直的任意弦交圆于点B、C，则BC中点M的轨迹方程为____________. 解析：Rt△OMC中，|MP|=|BC|（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）.

故所求轨迹方程为x2+y2－x－2y－2=0. 答案：x2+y2－x－2y－2=0 ●典例剖析

【例1】

（2003年春季北京）设A（－c，0）、B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹. 剖析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题. 解：设动点P的坐标为（x，y），由=a（a>0）得=a，化简，得

（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0. 当a=1时，方程化为x=0. 当a≠1时，方程化为（x－c）2+y2=（）2. 所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；

当a≠1时，点P的轨迹是以点（c，0）为圆心，||为半径的圆. 评述：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想. 【例2】

一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2，求此圆的方程. 剖析：

利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形. 22解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，故设圆方程为（x－3b）+（y－b）=9b2. 又因为直线y=x截圆得弦长为2，

则有（）2+（）2=9b2，

解得b=±1.故所求圆方程为

（x－3）2+（y－1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9. 评述：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数. 【例3】

已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程. 剖析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？

解：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系. 设动圆圆心为M（x，y），

⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则|MA|=|MC|.

∵AB为⊙O的直径，

∴MO垂直平分AB于O. 由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，而|MC|=|y+3|，

∴=|y+3|. 化简得x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程. 评述：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”. ●闯关训练

夯实基础

1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则

A.D+E=0B.

B.D+F=0 C.E+F=0

D. D+E+F=0 解析：曲线关于x+y=0成轴对称图形，即圆心在x+y=0上. 答案：A 2.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B（3，1）距离为2的直线共有

A.1条

B.2条

C.3条

D.4条

解析：分别以A、B为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求. 答案：B 3.（2005年黄冈市调研题）圆x2+y2+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－y+4=0对称，则k=____________. 解析：圆心（－答案：2 ，3）在直线上，代入kx－y+4=0，得k=2.

4.（2004年全国卷Ⅲ，16）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点P到直线3x－4y－10=0的

距离的最小值为____________. 解析：圆心（0，0）到直线3x－4y－10=0的距离d==2. 再由d－r=2－1=1，知最小距离为1. 答案：1 5.（2005年启东市调研题）设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x－6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足·=0. （1）求m的值；

（2）求直线PQ的方程. 解：（1）曲线方程为（x+1）2+（y－3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆. ∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称，

∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m=－1. （2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，

∴设P（x1，y1）、Q（x2，y2），PQ方程为y=－x+b. 将直线y=－x+b代入圆方程，得2x2+2（4－b）x+b2－6b+1=0. Δ=4（4－b）2－4×2×（b2－6b+1）>0，得2－3

+4b. 即b2－6b+1+4b=0. 解得b=1∈（2－3，2+3）. ∴所求的直线方程为y=－x+1. 6.已知实数x、y满足x2+y2+2x－2解：原方程为（x+1）2+（y－y=0，求x+y的最小值. ）2=4表示一个圆的方程，可设其参数方程为

x=－1+2cosθ，

y=+2sinθ

2sin（θ+），当θ=，即x=－1－，y=－时，x+y的最小值为－

1－2. 培养能力(课后参考)

7.已知实数x、y满足方程x2+y2－4x+1=0.求

（1）的最大值和最小值；

（2）y－x的最小值；

（3）x2+y2的最大值和最小值. 解：（1）如图，方程x2+y2－4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以为半径的圆.

设=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由解得k2=3. 所以kmax==，

，kmin=－. ，∠POC=60°，直线OP的倾斜角为60°，（也可由平面几何知识，有OC=2，OP=直线OP′的倾斜角为120°解之）

（2）设y－x=b，则y=x+b，仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时，纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式，得

=，即b=－2±. ，

故（y－x）min=－2－（3）x2+y2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC，与圆交于B点，并延长交圆于C′，则（x2+y2）max=｜OC′｜=2+（x2+y2）min=｜OB｜=2－，

. 8.（文）求过两点A（1，4）、B（3，2），且圆心在直线y=0上的圆的标准方程.并判断点M1（2，3），M2（2，4）与圆的位置关系. 解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.

因为圆过A、B两点，所以圆心在线段AB的垂直平分线上.由kAB=AB的中点为（2，3），

故AB的垂直平分线的方程为y－3=x－2，

即x－y+1=0. 又圆心在直线y=0上，

因此圆心坐标是方程组

=－1，

x－y+1=0，

y=0

半径r==，

所以得所求圆的标准方程为（x+1）2+y2=20. 因为M1到圆心C（－1，0）的距离为C内；而点M2到圆心C的距离|M2C|===>，|M1C|

（2）求半径最小时圆M的方程. 解：（1）如图所示（坐标系省略了），圆心N（－1，－1）为弦AB的中点，在Rt△AMN中，

|AM|2=|AN|2+|MN|2，

∴（m+1）2=－2（n+2）.（*）

故动圆圆心M的轨迹方程为（x+1）2=－2（y+2）. （2）由（*）式，知（m+1）2=－2（n+2）≥0，

于是有n≤－2. 而圆M半径r=∴当r=≥，

时，n=－2，m=－1，所求圆的方程为（x+1）2+（y+2）2=5. 探究创新

9.（2005年黄冈市调研考试题）如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：

若=xe1+ye2（其中e1、e2分别为与x轴、y轴同方向的单位向量），则P点斜坐标为

（x，y）.

（1）若P点斜坐标为（2，－2），求P到O的距离|PO|；

（2）求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy中的方程. 解：（1）∵P点斜坐标为（2，－2），

∴∴|∴|=2e1－2e2. |2=（2e1－2e2）2=8－8e1·e2=8－8×cos60°=4. |=2，即|OP|=2. =xe1+ye2. （2）设圆上动点M的斜坐标为（x，y），则∴（xe1+ye2）2=1. ∴x2+y2+2xye1·e2=1. ∴x2+y2+xy=1. 故所求方程为x2+y2+xy=1. ●思悟小结

1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值. 2.求圆的方程的一般步骤：

（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；

（2）根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组；

（3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程. 3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.