信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆教学设计一等奖

课题名称

《圆锥曲线与方程》单元教学设计

设计者姓名

徐世璋

年

级

高

二

年

级

设计者单位

白银市第九中学

联系电话

18794401716

电子邮箱

729683807@qq.com

《圆锥曲线与方程》单元教学设计

（白银市第九中学

徐世璋）

一、单元教学内容分析

《圆锥曲线与方程》是中学数学解析几何的主要内容，研究圆锥曲线的性质，是圆的几何性质的推广与延伸，是运用坐标法从代数的角度来研究圆锥曲线性质。为了解决这个问题，让学生更好地理解和学习圆锥曲线的性质，先了解曲线与方程的关系，研究如何建立曲线的方程，把几何的形与代数的数通过这个关系有机的联系起来，充分运用数的运算来解决形的问题，达到数形统一，体现数形结合的思想。对于圆锥曲线的几何特征与方程的研究，延续了高中数学《必修2》中研究直线与圆的方程的方法，通过图形探究圆锥曲线的几何特征，建立它们的方程，并通过方程来研究它们的简单性质，进而利用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题。

二、单元课程目标和学习目标分析

1、单元课程目标

学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，培养数形结合的思维方式。

2、单元学习目标

（1）了解圆锥曲线的几何性质，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

（2）感受从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简

单几何性质。

（3）了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性

质。

（4）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想，培养数形结合的

1

思维方式。 （5）了解圆锥曲线的简单应用。

3、单元三维目标 （1）知识与技能

①了解圆锥曲线的几何性质，感受从具体情境中抽象出圆锥曲线模型的过程。

②了解三种圆锥曲线的定义，掌握其标准方程及推导过程。

（2）过程与方法

①感受曲线方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思维方式。

②学会运用运动变化的观点研究问题，提高应用坐标法解决几何问题的能力。

（3）情感态度与价值观

①通过主动探究、合作学习、感受探索知识的乐趣与成功的喜悦。

②培养学生积极参与和善于交流的主体意识和乐于探索的创新精神。

③通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数学知识的和谐美、几何图形的对

称美，提高学生的审美情趣。

三、教材比较分析

1、注意知识内容的衔接。

必修《数学2》中的直线与方程、圆与方程，以及选修2-1（选修1-1）中的圆锥曲线与方程，系列4中的“选修4-4坐标系与参数方程”共同构成了经典的解析几何内容，具体授课时，应该注意这些知识的有机衔接，从解析几何内容的整体角度把握圆锥曲线的教学。

2、特别要注意的是对圆锥曲线的第二定义、统一定义以及非标准形式的圆锥曲线方程均不作要求。

对圆锥曲线的第二定义教材中是在习题中引出的，对掌握能力强、兴趣浓厚的学生来说，可适度引导他们去解决这些问题。关于圆锥曲线的统一定义及非标准形式的方程，在教材中是以“阅读和思考”的方式引出的，可让学生作为课外延伸的学习内容，在具体的教学中无需补充这些教学内容，以免增加学习负担。

3、关于曲线方程和函数解析式之间的关系问题。

应注意曲线方程和函数解析式研究对象不同，它们之间既有联系也存在的区别。

2

可从“曲线的方程就是函数解析是吗？”和“函数解析式就是图像所对应方程吗？”

两个问题来讨论完成教学。

四、学情分析

1、学生在数学《必修2》中学习了直线与方程、圆的方程等几何的初步知识，了解了坐标法建立直线与圆的方程的过程，掌握了利用代数方法来研究几何图形的性质，此处学习圆锥曲线是学习圆的方程的延续，可以类比学习圆的方程的方法来推进这部分知识的学习，这也说明在方法上学生具有一定的基础。

2、学生的运算求解能力不一定适应这部分的学习。在圆锥曲线的学习中，学生要有较好的计算处理能力，特别是对解方程的要求比较高，仅靠以前所学的解一次方程（组）的基础是难以适应此处的解方程要求的。因为很多解题过程都涉及到了二次方程组。在实际教学经验来看，学生在这方面还需加大指导和训练，特别是解决直线与圆锥曲线的位置关系问题的时计算最容易出错。

3、学生探究问题的能力比较低下。本部分内容探究问题比较多，教材也设置了很多问题需要学生去独立探究解决，尤其是关于轨迹问题的习题较多，学生在新课学习之后能否独立解决要特别关注。

五、教学重难点分析

1、

教学重点

（1）理解并掌握椭圆、抛物线的定义、标准方程、几何图形及简单性质（圆锥曲

线的范围、对称性、顶点、离心率等）。

（2）了解双曲线的定义、几何图形、标准方程，了及有关性质，特别是渐近线的性

质以及渐近线与离心率的关系。

（3）直线与圆锥曲线的位置关系问题的处理。

（4）曲线与方程的关系，如何求点的轨迹方程问题。

（5）体会坐标法与数形结合方法的应用。

2、教学难点

（1）如何抽象出圆锥曲线标准方程时坐标系的建立问题；

（2）圆锥曲线性质的应用问题；

（3）直线与圆锥曲线的关系问题的解决；

3

（4）轨迹及求轨迹方程问题；

（5）应用数形结合思想解决解析几何问题。

六、单元教学方式分析

1、教法方面

“问题诱导----启发讨论----探索结果”和“直观观察----归纳抽象----总结规律”

是本单元宜采用的探究式教学方法。利用解析几何的特点，通过“引、思、探、练”等环节，引导学生从代数的角度去研究图形的几何性质，渗透数形结合思维方式，实现“形”与“数”的有机结合，培养科学思维、主动参与、自主探索的学习习惯。

2、学法方面

利用圆的定义及其方程的推导过程，通过类比的数学思维根据椭圆的定义探究椭圆的标准方程。依托坐标法，充分利用直观感知、研究特征、建立方程、研究性质的思路解决学生学习椭圆的知识问题，再利用类比的方法让学生通过自主探究来完成双曲线与抛物线的知识学习。通过椭圆、双曲线、抛物线位置的不同进行分类讨论，引导学生进一步理解数形结合的思维方式。

七、单元教学流程

本单元是在掌握了直线和圆的方程的基础上，进一步学会用坐标法研究曲线。本章主要学习椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、简单几何性质及其简单应用

共分7个小节，教学时间约为18课时，各小节的教学时间分配如下： 1、曲线与方程 1课时

2、椭圆及其标准方程 2课时

3、椭圆的简单几何性质 4课时

4、双曲线及其标准方程 2课时

5、双曲线的简单几何性质 3课时

6、抛物线及其标准方程 2课时

7、抛物线的简单几何性质 2课时

8、小结与复习 2课时

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《椭圆及其标准方程》教学设计（第一课时）

一、教材分析

本节内容是在学生学习了直线和圆的方程，对曲线的方程的概念有了一定了解，对用坐标法研究几何问题有了初步认识的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。

而椭圆的学习也为后面研究双曲线、抛物线提供基本模式和理论基础，因此这节内容承上启下，是本章和本节的重点内容之一。

二、学情分析

在必修Ⅱ中学生已学习了圆锥曲线之一——圆，掌握了圆的定义及圆的标准方程的推导，可用类比的方法来研究另一种圆锥曲线——椭圆。

三、教学目标

（一）知识与技能

1、掌握椭圆的定义和标准方程；明确焦点、焦距的概念；

2、掌握椭圆标准方程的推导过程；

3、能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用定义法，待定系数法求随圆的标准方程。

（二）过程与方法

通过数形结合思维方式，引导学生观察、猜想、归纳椭圆标准方程的推导过程及用待定系数法求随圆的标准方程。培养学生自主获取知识和探究发现问题的能力。

（三）情感态度、价值观 1、通过自主探究学习，品尝成功的喜悦，培养学好数学的信心；

2、帮助学生树立运动、变化观点，培养科学思维方式；

3、亲历观察、探究等自主学习活动，培养尊重事实、实事求是的科学态度。

四、教学重点与难点

1、重点：椭圆定义的形成和标准方程的推导．

2、难点：椭圆标准方程的推导；坐标法的应用. 五、教学策略选择与设计

1、教法设计：

引导发现法、探索讨论法

（1）引导发现法：用课件演示动点的轨迹，启发学生归纳、概括椭圆定义。

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（2）探索讨论法：由学生通过联想、归纳把原有的求轨迹方法迁移到新情况中，有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点，发挥其创造性。

五、教学基本流程

问题

1、观察计算机演示生活中常见的椭圆，提出问题：这些轨迹是什么图形？这些曲线你还在什么地方见过？

设计意图 先从实际生活中有关椭圆例子出发，通过实际例子创设情景，可使引入自然，易于接受，又使教学内容亲切，激发学生学习热情和探究新知识的欲望。

师生活动

师：组织学生观察演示，并提出问题。

生：根据自己的观察，回答出运动的轨迹是椭圆，并举出常见的一些椭圆如立体几何中圆的直观图，一些物体的横截面的轮廓线。

师：由此可见，椭圆在实际生活中是很常见的，因而学习椭圆的有关知识是非常必要的。

师：拿出课前准备的一段细绳请学生帮忙在黑板上按课本要求画椭圆，再用计算机演示椭圆的画法，使其更形象直观，进一步加深学生印象。

师：动点是在怎样的条件下运动的？

生：是否到两定点距离之和等于定值的点的轨迹就是椭圆呢？（学生可能一时回答不出，教师可请学生观察演示课件并思考）

师：当两个定点（图钉）位置变化时，轨迹发生怎样的变化？学生讨论、交流后师生共同完成下面结论：

当绳长（定值）大于两图钉（定点）间距离时得到的是椭圆；当绳长（定值）等于两图钉（定点）的距离时，得到的是线段；不能使绳长小于两图钉（定点）的距离，因为图形不存在。

由此得出椭圆、椭圆的焦点、焦距的概念。

师：提出问题，启发、强调建立适当坐标系的重要性．

生：讨论、交流、归纳（大体有如下方案）：

方案一、以F1F2所在直线为x轴，线段F1F2中点为坐标原点；

方案二、以F1F2所在直线为y轴，线段F1F2中点为坐标原点。

师生活动

教师启发学生由椭圆的定义，得出表示椭圆的集合：2、我们知道，动点保持某种规律运动形成的轨迹叫曲线，那么椭圆是什么条件的点的轨迹呢？如何对椭圆下定义？

通过实际操作，探究椭圆形成过程满足的几何条件，使学生对椭圆的概念有一个粗略的认识，然后通过演示、观察、猜想、归纳得到关于椭圆的定义的详实认识。

3、由于椭圆形的例子在实际生活中随处可见，因此对椭圆的研究十分重要，观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆方程简单？

问题

4、选择方案一，椭圆上的点满足什么条件？能否用集合表示出来？

建立直角坐标系一般要符合简洁对称的原则，正确处理关键点的坐标可使关键的几何量的表达式简单化。

设计意图 用数学表达式表示椭圆．

PM||MF1||MF2|2a。

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教师指导学生设点、列式，化简，并引导学生回顾化简的方法（移项，两边平方，再移项两边平方），从而得到：x2y22212aac

5、如何推导出椭圆的方程？

引导学生自主推导、并思考：此方程仍然不够简洁，还有变形的必要，你认为概括，提高学生分析、应如何变形，使之更为简洁．

思考、归纳、整理的师：引导学生观察课本图2.2-3，从中找出能力。

22xy1a，c,a2c2，并把椭圆方程整理成：a2b2

并指出上式就是椭圆的标准方程。理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点的椭圆。

不必运算，引导学生合理猜想，提醒学生两个方程形式相6、若选定方案二，方程的形式又怎样？

让学生利用对称性进行猜想，培养学生类比、归纳的能力。

y2x2212ab同，仅仅是x、y的位置互换了，进一步得出：。

师生归纳得出：

7、两个椭圆方程中，a、b、c三者的大小关系怎样？关系如何？

强调椭圆方程的限制条件。

ab,ac且a、b、c0且a2b2c2,一般写成ab0。

师：提出问题，引导学生回答出两种形式的椭圆的焦点是什么？

生：方程8、两个方程中，注意椭圆的焦点位置焦点位置与方和方程形式的关系，程形式有何关切忌混淆。

系？

x2y21a2b2的焦点坐标为F（1c,0),F2(c,0)在x轴上，

y2x21a2b2的焦点坐标为。

2师：其判断的依据是：看x，y的分母大小，哪个分母2大就在哪一条轴上。

9、课件展示两个填空题。

10、课件展示例题及变式题，总结求简单椭圆标准方程的方

巩固椭圆的标准方程。

巩固所学知识，培养学生自学能力和归纳总结能力。

师：引导学生观察两个方程，寻找区别。

生：口答。

由学生独立思考，教师适时引导，强调要注意的问题：

〈1〉确定要设的椭圆标准方程；

〈2〉恰当列出含a，b，c的方程；

〈3〉相等关系a2-b2=c2。

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法、步骤．

11、课堂小结：

师生归纳求椭圆方程的方法、步骤（①确定焦点位置；②求a、b）．即先定位，后定量。

12、作业：习题2．1A组 1、2 x2y21k23k课后拓展探究：若方程

表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是 . x2y21变式：（1）若方程

k23k

表示椭圆呢？

x2y21k23k（2）若方程 表示椭圆呢？

六、教学设计自我反思

结合自己的教学实践，对以上设计与分析评价如下：

1、在学习双曲线之前学生已对椭圆、椭圆的定义以及如何建立椭圆的标准方程都有所了解。据此，在与椭圆的联系与区别中建立有关双曲线的知识结构运用用类比法是最有效的方法之一。 2、在教学中，把教学内容编织成一系列环环相扣的问题，进而形成新的知识结构，这是应用数学思维培养学生发现问题和解决问题的能力，形成创新精神的具体表现。

3、充分体现学生主体地位。在教学中，应用板演，相互交流、相互检查等方式，并有意延迟判断，不随意把结论抛给学生，而是让他们在合作学习中巩固知识点、进而达到学以致用的目的，这种尊重学生主体地位，鼓励自主获取知识的方法深受学生欢迎且收效甚佳。在教学中，还有可能会遇到学生对含参方程求解运算能力不过关的问题，在解题过程中要特别注意板演的作用，让学生慢慢提高运算能力。

4、当然，由于理解的角度和能力的问题，上述教学设计还存在很多不足之处，有待改进的地方还很多，需要在今后的教育教学中不断查漏补缺、不断完善。

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