2.2.4 平面与平面平行的性质优秀说课稿

城口中学数学教研组公开课教案

教研组长：马宗培 教师：谢方兴

复***行问题

一、直线与平面平行

1．判定定理

判定定理

文字语言

平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行

图形语言

符号语言

l∥aa⊂α⇒l∥α

l⊄α2．性质定理

文字语言

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

图形语言

符号语言

a∥α性质定理

a⊂β⇒a∥b

α∩β＝b

知识拓展

(1)证线面平行

①若a∥α，a∥b，b⊄α，则b∥α．

②若a∥α，α∥β，a⊄β，则a∥β．

(2)线面平行的性质

①若a∥α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b．

②若a∥α，a⊥β，则α⊥β．

二、平面与平面平行

1．判定定理

文字语言

一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行

2．性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

图形语言

符号语言

判定定理

a⊂αb⊂αa∥β⇒α∥β

b∥βa∩b＝P

性质定理

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

α∥βα⊂γ＝a⇒a∥b

β∩γ＝b知识拓展

平面与平面平行的几个性质

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．

(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．

(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．

(6)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．

精析精练

一、直线与平面平行的判定

1．(2015·海淀模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是棱AB的中点．

(1)求证：CD∥平面PAB；

【证明】(1)因为底面ABCD是菱形，所以CD∥AB．

又因为CD⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，所以CD∥平面PAB．

2．(2015·南京检测)如图，在正三棱锥ABC-A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．

(1)求证：BF∥平面A1EC；

【证明】(1)连接AC1交A1C于点O，连接OE，OF，

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，所以OA＝OC1．

1又因为F为AC中点，所以OF∥CC1且OF＝CC1．

21因为E为BB1中点，所以BE∥CC1且BE＝CC1．

2所以BE∥OF且BE＝OF，所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE．

又BF⊄平面A1EC，OE⊂平面A1EC，

所以BF∥平面A1EC．

二、直线与平面平行的性质

3．(2014·安徽高考)如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为217 ．点G，E，F，H

分别是棱

PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥

平面ABCD

，BC∥平面GEFH．

(1)证明：GH∥EF；

【证明】(1)因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，

所以GH∥BC．

同理可证EF∥BC，

因此GH∥EF．

三、平面与平面平行的判定

4．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点，求证：平面PMN∥平面A1BD．

【证明】如图，连接B1D1，B1C．

∵P，N分别是D1C1，B1C1的中点，

∴PN∥B1D1．

又B1D1∥BD，∴PN∥BD．

又PN⊄平面A1BD，BD⊂平面A1BD；

∴PN∥平面A1BD．

同理MN∥平面A1BD，

又PN∩MN＝N，

∴平面PMN∥平面A1BD．

5．(2015·西城模拟)如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，BF＝3，G和H分别是CE和CF的中点．

(2)求证：平面BDGH∥平面AEF；

【证明】(2)在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，

又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，

所以GH∥平面AEF．

设AC∩BD＝O，连接OH，在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，

所以OH∥AF，

又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，

所以OH∥平面AEF．

又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，

所以平面BDGH∥平面AEF．

四、平面与平面平行的性质

6．(2015·南通模拟)如图所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，D，D1分别为AC，A1C1上的AD点且平面BC1D∥平面AB1D1，试求的值

DC

【解】由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O 得BC1∥D1O，

A1D1A1O∴＝．

D1C1OBA1D1DCA1O又＝，＝1，

D1C1ADOBDCAD∴＝1即＝1．

ADDC

小结：

1．对线面平行，面面平行的认识一般按照“定义—判定定理—性质定理—应用”的顺序．其中定义中的条件和结论是相互充要的，它既可以作为判定线面平行和面面平行的方法，又可以作为线面平行和面面平行的性质来应用．

2．在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，其转化关系为

在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”．

注意事项：

1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．

2．线面平行关系证明的难点在于辅助面和辅助线的添加，在添加辅助线、辅助面时一定要以某一性质定理为依据，绝不能主观臆断．

3．解题时注意符号语言的规范应用．