3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教案2

3.1

直线的倾斜角与斜率

3.1.1

倾斜角与斜率

整体设计

教学分析

直线是最基本、最简单的几何图形，它既能为进一步学习作好知识上的必要准备，又能为今后灵活地运用解析几何的基本思想和方法打好坚实的基础.事实上，只有透彻理解并熟练掌握直线的倾斜角和斜率这两个基本概念，学生才能对直线及其位置进行定量的研究.对直线的倾斜角和斜率，必须要求学生理解它们的准确涵义和作用，掌握它们的导出，并在运用上形成相应的技能和熟练的技巧.

本小节从一个具体的一次函数与它的图象入手，引入直线的倾斜角概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法.引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是进一步研究直线方程的需要. 三维目标

1.理解直线的倾斜角和斜率的定义，充分利用斜率和倾斜角是从数与形两方面刻划直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，在教学中培养学生数形结合的数学思想. 2.掌握经过两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2)的直线的斜率公式：k=y2y1（x1≠x2），培养学生树立x2x1辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神. 3.培养和提高学生联系、对应、转化等辩证思维能力，认识事物之间的相互联系，培养相互合作意识,培养学生思维的严谨性，注意学生语言表述能力的训练. 重点难点

教学重点:直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式. 教学难点:斜率公式的推导. 课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.如图1所示，在直角坐标系中，过点P的一条直线绕P点旋转，不管旋转多少周，它对x轴的相对位置有几种情形？教师引入课题：直线的倾斜角和斜率.

图1 思路2.我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗?这些直线有什么联系和区别呢?教师引入课题：倾斜角与斜率. 推进新课

新知探究

提出问题

①怎样描述直线的倾斜程度呢？

②图2中标出的直线的倾斜角α对不对？如果不对，违背了定义中的哪一条？

图2 ③直线的倾斜角能不能是0°？能不能是锐角？能不能是直角？能不能是钝角？能不能是平角？能否大于平角？

④日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？

⑤正切函数的定义域是什么？

⑥任何直线都有斜率么？

⑦我们知道两点确定一条直线，那么已知直线上两点坐标，如何才能求出它的倾斜角和斜率呢？如：已知A(2，3)、B(－1，4)，则直线AB的斜率是多少? 活动:①与交角有关.当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角. ．．．可见：平面上的任一直线都有唯一的一个倾斜角，并且倾斜角定了，直线的方向也就定了. ②考虑正方向. ③动手在坐标系中作多条直线，可知倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.在此范围内，坐标平面上的任何一条直线都有唯一的倾斜角，而每一个倾斜角都能确定一条直线的方向.倾斜角直观地表示了直线对x轴正方向的倾斜程度. 规定：当直线和x轴平行或重合时，直线倾斜角为0°，所以倾斜角的范围是0°≤α＜180°. ④联想小时候玩的滑梯，结合坡度比给出斜率定义，直线斜率的概念. 倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k表示，即k=tanα.

⑤教师介绍正切函数的相关知识. ⑥说明：直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率. （倾斜角是90°的直线没有斜率）

⑦已知直线l上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且直线l与x轴不垂直，如何求直线l的斜率？教学时可与教材上的方法一样推出. 讨论结果:①用倾斜角. ②都不对.与定义中的x轴正方向、直线向上方向相违背. ③直线的倾斜角能是0°，能是锐角，能是直角，能是钝角，不能是平角，不能大于平角. ④有，常用的有坡度比. ⑤90°的正切值不存在. ⑥倾斜角是90°的直线没有斜率. ⑦过两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线的斜率公式k=应用示例

思路1

例1

已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. 活动:引导学生明确已知两点坐标,由斜率公式代入即可求得k的值; 而当k=tanα＜0时,倾斜角α是钝角; 而当k=tanα＞0时,倾斜角α是锐角; 而当k=tanα=0时,倾斜角α是0°. y2y1. x2x1

解:直线AB的斜率k1=1＞0,所以它的倾斜角α是锐角; 7直线BC的斜率k2=-0.5＜0,所以它的倾斜角α是钝角; 直线CA的斜率k3=1＞0,所以它的倾斜角α是锐角. 变式训练

已知A(1,33),B(0,23),求直线AB的斜率及倾斜角. 解:kAB=33233, 10∵直线倾斜角的取值范围是0°—180°, ∴直线AB的倾斜角为60°. 例2

在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2及-3的直线a,b,c,l. 活动:要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定. 解:设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有：1=y0,所以x=y. x0可令x=1,则y=1,于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1),可作直线a. 同理,可作直线b,c,l. 变式训练

1.已知直线的倾斜角，求直线的斜率：

(1)α=0°；（2）α=60°；(3)α=90°.

活动:指导学生根据定义直接求解.

解：(1)∵tan0°=0，

∴倾斜角为0°的直线斜率为0. (2)∵tan60°=3，∴倾斜角为60°的直线斜率为3. (3)∵tan90°不存在，∴倾斜角为90°的直线斜率不存在. 点评：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率. 2.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的(

) A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率

B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大

C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π；两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等

D.直线斜率的范围是(－∞，＋∞)

答案：D 思路2

例1

求经过点A(-2,0)，B(-5,3)的直线的斜率和倾斜角.

解：kAB=30=1，即tanα=-1，

5(2)又∵0°≤α＜180°，

∴α=135°.

∴该直线的斜率是-1，倾斜角是135°. 点评：此题要求学生会通过斜率公式求斜率，并根据斜率求直线的倾斜角.

变式训练

求过下列两点的直线的斜率k及倾斜角α.

（1）P1(-2,3)，P2(-2,8)；

（2）P1(5,-2)，P2(-2,-2).

解：（1）∵P1P2与x轴垂直，∴直线斜率不存在，倾斜角α=90°.

（2）k=tanα=2(2)=0，∴直线斜率为0，倾斜角α=0°.

25例2

已知三点A、B、C，且直线AB、AC的斜率相同，求证:这三点在同一条直线上. 证明：由直线的斜率相同，可知直线AB的倾斜角与AC的倾斜角相等，而两直线过公共点A，

所以直线AB与AC重合，因此A、B、C三点共线. 点评：此题反映了斜率公式的应用，即若有共同点的两直线斜率相同，则可以判断三点共线. 变式训练

1,m)共线，求实数m的值.

223m3解：kAB==-1，kAC=，

132229m3∵A、B、C三点共线，∴kAB=kAC.∴=-1.∴m=. 1222112.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线，则+的值等于_____________. ab1答案：

21.若三点A(2,3)，B(3,2)，C(例3

已知三角形的顶点A(0,5)，B(1,-2)，C(-6,m)，BC的中点为D，当AD斜率为1时，求m的值及|AD|的长. 分析：应用斜率公式、中点坐标公式、两点间距离公式.

解：D点的坐标为(-5m2,)，

22m25552∴kAD==1.∴m=7.∴D点坐标为(-,). 52202∴|AD|=()(5)52252252. 2变式训练

过点P(－1，－1)的直线l与x轴和y轴分别交于A、B两点，若P恰为线段A的中心，求直线l的斜率和倾斜角. 答案：k=-1,倾斜角为3. 4知能训练

课本本节练习1、２、３、４.

拓展提升

已知点A(-2,3)，B(3,2)，过点P(0,-2)的直线l与线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围. 分析：利用数形结合同时注意直线斜率不存在的特殊情形. 答案：(-∞,45)∪(-,+∞).

32课堂小结

通过本节学习，要求大家：

（1）掌握已知直线的倾斜角求斜率; （2）直线倾斜角的概念及直线倾斜角的范围；

（3）直线斜率的概念；

（4）已知直线的倾斜角（或斜率），求直线的斜率（或倾斜角）的方法. 作业

习题3.1

A组3、4、5. 设计感想

本节教学设计注重引导学生通过观察来获得新知，在实际教学中教师要及时引导，加强师生交流，学生通过自主观察、分析还是能得到正确结论的，要给学生充分的思考时间.