习题2.1课堂实录【1】

2018年宁乡六中数学学考复习资料

NO 7 空间位置关系和直线、平面平行的判定及其性质

一、学考目标

1、识记平面，理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系； 2、掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质；

二、知识归纳

1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

αABl

Al,Bll

A,B公理1的作用：判断直线是否在平面内

2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

C 若A，B，C不共线，则A，B，C确定平面

BαA

3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

α

P,P

·

P β

l且Pl

L

公理3作用：（1）判定两个平面是否相交的依据；（2）证明点共线、线共点等。

4、公理4：也叫平行公理，平行于同一条直线的两条直线平行.ab,cbac

公理4作用：证明两直线平行。

5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

aa,bb且1与2方向相同1＝2

a

a1ba'a'

22aa,bb且1与2方向相反12＝180

b' b'方向相同则

∠1＝∠21b

作用：该定理也叫等角定理，可以用来证明空间中的两个角相等。

方向相反则∠1+∠2＝180°6、线线位置关系：平行、相交、异面。ab,（1）在同一平面内，没有公共点的两条直线平行

（2）有一个公共点的两条直线相交

（3）不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线

abA,a,b异面

aAb7、线面位置关系：

A

a(3)(2)(1)

（1）直线在平面内，直线与平面有无数个公共点；a

（2）直线和平面平行，直线与平面无任何公共点；a

1 aa

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（3）直线与平面相交，直线与平面有唯一一个公共点；aA

8、面面位置关系：平行、相交。

※9、线面平行：（即直线与平面无任何公共点）

⑴判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

（只需在平面内找一条直线和平面外的直线平行就可以）

a

ba//

a//b⑵直线与平面平行的性质：如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线和它们的交线平行；

※10、面面平行：（即两平面无任何公共点）

（1）判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 a,b abA

a,b

判定定理的推论：

一个平面内的两条相交直线与另一个平面上的两条直线分别平行，两平面平行

（2）两平面平行的性质：

性质1：如果一个平面与两平行平面都相交，那么它们的交线平行；

a,babAaa,bb a,b aab

b

性质2：平行于同一平面的两平面平行；

性质3：两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；

2 

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三、真题再现

1、（2017-7）.如图3所示，四面体ABCD中，E,F分别为AC,AD的中点，则直线CD跟平面BEF的位置关系是（ ）

A、平行

B、在平面内

C、相交但不垂直

D、相交且垂直

AFEB图3DCBD与AC2、（2014-7）.如图，在正方体ABCDA1BC11D1中，异面直线11的位置关系是

A.平行

B.相交

C.异面但不垂直

D. 异面且垂直

3、（2013-18）．（本小题满分8分）

如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，BCBD，BC3，BD4，直线AD与平面BCD所成的角为45，点E,F分别是AC,AD的中点. （1）求证：EF∥平面BCD；

（2）求三棱锥ABCD的体积.

0AFEBDC（第18题图）4、（2015-18）．(本小题满分8分) 已知正方体ABCD- A1B1C1D1.

(1)证明：D1A//平面C1BD；

(2)求异面直线D1A与BD所成的角.

D1 A1 B1

C1 D A B C

3

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四、达标检测

1．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是(

) A．平行 B．相交 C．平行或异面 D．相交或异面

2．直线a∥b，b⊥c，则a与c的关系是(

) A．异面 B．平行 C．垂直 D．相交

3．如图1，在长方体ABCD

­

A1B1C1D1中，E，F分别为B1O和C1O的中点，长方体的各棱中与EF平行的有 条. 4．若直线m∥平面α，直线n∥平面α，则直线m与直线n的位置关系是(

) A．平行 B．相交 C．异面 D．以上皆有可能 5.如图2，正方体ABCD-A´B´C´D´中,异面直线CD’和BC’所成的角的度数是________．

直线BC和直线AD所成的角为________．

6. 如图3所示已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，AB=1，E为AA1中点，则异面直线BE与CD1所成的角的余弦值为________．

7．如图4所示，在正方体ABCD

-A1B1C1D1中，

(1)求A1C1与B1C所成角的大小；

(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．

图4 图3 ADCA'图1 D'B'C'B图2 8．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点（1）求证：MN//平面PAD；（2）若MNBC4，PA43，

求异面直线PA与MN所成的角的大小

P

AMHDBNC图5 ＊9.空间四边形ABCD中，ADBC2，E,F分别是AB,CD的中点，EF3，求异面直线AD,BC所成的角

4