1.1.3 四种命题间的相互关系课程导入及其完整教案

1.1.3

四种命题间的相互关系

学习目标

1.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.2.会利用命题的等价性解决问题．

知识点一

四种命题间的关系

思考

原命题与其逆命题、否命题、逆否命题之间是什么关系？

答案

原命题与其逆命题是互逆关系；原命题与其否命题是互否关系；原命题与其逆否命题是互为逆否关系．

梳理

四种命题间的关系

知识点二

四种命题间的真假关系

原命题

真

真

假

假

由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．

(1)两个互逆命题的真假性相同．(×) (2)原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同．(√) (3)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．(×) 逆命题

真

假

真

假

否命题

真

假

真

假

逆否命题

真

真

假

假

类型一

四种命题间的关系及真假判断

例1

判断下列命题的逆命题、否命题与逆否命题的真假．

(1)若ab≤0，则a≤0或b≤0；

(2)若a2＋b2＝0，则a，b都为0. 考点

四种命题的概念

题点

判断四种命题的真假

解

(1)逆命题：若a≤0或b≤0，则ab≤0.它为假命题．

逆否命题：若a＞0且b＞0，则ab＞0.它为真命题．

所以原命题的逆命题与否命题为假命题，逆否命题为真命题．

(2)原命题与其逆命题“若a，b都为0，则a2＋b2＝0”均为真命题，所以原命题的逆否命题与否命题也均为真命题．

反思与感悟

互为逆否关系的两个命题真假性相同，准确判断两个命题之间的关系是解题的关键．

跟踪训练1

下列命题为假命题的是(

) A．“若x2＋y2≠0，则x，y不全为0”的否命题

B．“正三角形都相似”的逆命题

C．“若m＞0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题

D．“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题

考点

四种命题的概念

题点

判断四种命题的真假

答案

B 解析

A中，原命题的否命题为“若x2＋y2＝0，则x，y全为0”，是真命题．

B中，原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，是假命题．

C中，原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实根，则m≤0”，∵方程无实根，∴Δ＝11＋4m＜0，∴m＜－，

4∴原命题的逆否命题是真命题．

D中，原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－2不是有理数”，

∵x不是无理数，∴x是有理数，

又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数，∴原命题的逆否命题是真命题．

类型二

等价命题的应用

例2

设m，n∈R，证明：若m2＋n2＝2，则m＋n≤2. 考点

反证法逆否证法

题点

逆否证法

证明

将“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”视为原命题，

则它的逆否命题为“若m＋n＞2，则m2＋n2≠2”．

11因为m＋n＞2，所以m2＋n2≥(m＋n)2＞×22＝2. 22所以m2＋n2≠2，所以原命题得证．

反思与感悟

由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的命题具有等价性，因此我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题．

跟踪训练2

证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1. 考点

反证法和逆否证法

题点

逆否证法

证明

命题“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若

4b2－2a＋1＝0”．

由a＝2b＋1，得a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2×(2b＋1)＋1＝4b2＋4b＋1－4b2－4b－2＋1＝0，

显然原命题的逆否命题为真命题，所以原命题也为真命题．故原命题得证. a＝2b＋1，则a2－

1．命题“若(綈p)，则q”的逆否命题为(

) A．若p，则(綈q)

C．若(綈q)，则p

考点

四种命题的概念

题点

按要求写命题

答案

C B．若(綈q)，则(綈p) D．若q，则p

2．下列命题为真命题的是(

) A．命题“若x>y，则x>|y|”的逆命题

B．命题“若x＝1，则x2>1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2>1，则x>1”的逆否命题

考点

四种命题间的相互关系

题点

写出四种命题利用四种命题的关系判断真假

答案

A 解析

对A，即判断：若x>|y|，则x>y的真假，显然是真命题．

3．命题“若x>1，则x>0”的逆命题是________________，逆否命题是__________________．

考点

四种命题的概念

题点

按要求写命题

答案

若x>0，则x>1

若x≤0，则x≤1 4．有下列命题：

①“若k＞0，则方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题；

11②“若＞，则a＜b”的逆命题；

ab③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．

其中是假命题的是________．

考点

四种命题间的相互关系

题点

利用四种命题的关系判断真假命题的个数

答案

①②

解析

对于①，其否命题为：若k≤0，则方程x2＋2x＋k＝0无实根，显然为假命题；对于②，11若a＜b，则＞，为假命题；③则为真命题，故假命题为①②. ab5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．

(1)写出命题p的否命题；

(2)判断命题p的否命题的真假．

考点

四种命题间的相互关系

题点

写出四种命题利用四种命题的关系判断真假

解

(1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．

(2)命题p的否命题是真命题．判断如下：

因为ac<0，

所以－ac>0，Δ＝b2－4ac>0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根⇒ax2＋bx＋c>0有解，

所以该命题是真命题．

写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误．若由p经逻辑推理得出q，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明即可．