3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示教案板书设计

[课题]空间向量的正交分解与坐标表示

浙江省义乌中学 金惠萍

［教学内容解析］

章引言中提到了本章的主要内容和研究方法，即类比平面向量来研究空间向量的概念和运算. 向量是既有大小又有方向的量，它能像数一样进行运算，本身又是一个“图形”，所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁，在很多数学问题的解决中有着重要的应用. 本章要学习的空间向量，将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具.同时，空间向量的学习又将会进一步巩固平面向量知识. 《空间向量的正交分解及其坐标表示》是选修2-1第三章第四节的内容，前面学生已经把平面向量及其加减和数乘运算推广到空间，本节内容从空间向量的正交分解出发，学习空间最重要的定理——空间向量基本定理，这个定理是立体几何数量化的基础，有了这个定理，空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x,y,z）建立起一一对应的关系. ［教学目标设置］

依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下：

（一）教学目标

1.理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量. 2.通过不同向量用同一基底表示的探究过程，培养“维数”的基本观念；通过一般分解到正交分解的表示，培养学生从从特殊到一般、一般到特殊的思维方式.通过类比、推广等思想方法，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解. 3.通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质. （二）重、难点分析

教学重点：理解空间向量基本定理及其意义；

教学难点：理解空间向量基本定理及其意义；

［学生学情分析］

本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了平面向量的基本原理，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但在把向量推广到空间中缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊. ［教学策略分析］

为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略：

1．教法分析 教学过程中，本课将通过抓两线来突重点，即知识技能线：通过类比平面向量的结论，推理得到空间向量的结论，再通过具体的例子，来实现定理的灵活运用。抓两点来破难点，即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发学生的学习兴趣；二抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手。为

了充分调动学生学习的积极性，采用“学、研、导、练”模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成了方法.另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设情境激发学生的学习兴趣. 2．学法分析 本节课通过类比平面向量基本定理及坐标表示，推广到空间向量，让学生体会类比、推广思想，加深对向量的理解；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．

［教学过程］

一、新课引入

情境：利用教室场景，分别描述平面内、空间中目标位置，

二、探究新知

（一）类比猜想：

.根据平面向量基本定理，猜想空间向量基本定理. （由平面向量基本定理，学生逐句改造猜想空间向量基本定理，形成对空间向量基本定理的直观感知）

（二）探究确认：

探究一：空间三个两两垂直的向量的表示

zP k O设i,j,k是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O，

→在右图中用向量i,j,k表示OP.

j i y

探究二：在空间中，如果是任意三个不共面的向量a.b,c，你能得出类似的结论吗？

若能写出它的推导过程，并总结归纳.

O

x

P （从学生的认知出发，由特殊到一般，从熟悉到陌生，寻求向量分解的方法。学生动手操作，演示，比较各种不同的方案，形成对定理的操作确认）

（三）类比应用：

探究三：结合空间向量基本定理，类比平面向量正交分解及坐标表示，归纳：

单位正交基底：

．．．．空间向量的坐标表示：

三、应用举例

（一）基础应用：

A1D1B1C1例1

如图，在正方体AC中，试找出一组能作为基底的向量，1

并判断AB,AD,C1D1,能否作为基底. ADBC反思提高：

已知向量{a.b,c}是空间的一个基底，从a.b,c中选哪一个向量，

一定可以与向量pabqab构成空间的另一个基底？

（通过本例，学生学会构造基底，明确空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底）

D1C1例2

如图，正方体

AC1中，棱长为

1

，记DAa,DCb,DD1c,（1）用{a,b,c}表示下列向量： AC，

DA1，

AC1.

变式应用：

A1B1（2）用坐标表示AC，

DA1，

AC1. ADBC

如图，平行六面体AC1中，记DAa,DCb,DD1c,{a,b,c}表示下列向量： AC，

DA1，

AC1.

用

（通过实例，应用已知基底表示空间中的任意向量，并能写出单位正交分解下的坐标；结合变式，进一步明确基底表示向量的一般性和坐标表示向量的特殊性）

（二）巩固提升：

例3 如图，M,N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P,Q是MN →→→→的三等分点，G为底面ABC的重心，用向量OA，OB，OC表示OP和OQ. （通过不同的载体，巩固基底表示向量，明确基底思想）

四、学习小结

1.知识：基本定理，正交分解，坐标表示

BBOOMMPPAAQQCCNN

2.思想：基底思想

3.方法：类比

五、延伸拓展

如果把平面看成“二维空间”，把普通的空间看成“三维空间”，我们能不能把向量问题继续推广到四维、五维…n维呢？如何推广？