阅读与思考 欧几里得《原本》与公理化方法教学设计及教案分析

欧几里德原本与公理化方法教学设计

日喀则市第三高级中学 成雁兵

一．教材分析

本节课的内容是人教A版高中数学必修二的阅读内容，为学生学习数学，构建数学思维系统，了解数学史有很的帮助。

二．教学目标

根据教材内容、课程标准及学生实际确定本节课的教学目标如下：

1.知识与技能：了解欧几里德原本与公理化思想方法。

2.过程与方法：通过六个内容让学生更好地学习和了解。

3.情感态度与价值观：让学生了解数学思想系统的发展，培养学生的理性精神与探索求知的欲望。

三．教学重点与教学难点

根据教材内容、课程标准及学生实际确定本节课的教学重点、难点如下：

教学重点：公理化方法

教学难点：公理化方法

四．

教法、学法

根据新课程理念，本节课采用学生课前查阅资料，自主看书学习，获取一些基本概念，课上采用PPT展示，等方法落实重点，突破难点。

五.教学过程

一、公理化思想方法的内涵与价值

公理

：在一个系统中已为反复的实践所证实而被

认为不需要证明的真理，是可以作为证明中的理论依据。

公理化方法：从某些基本概念和基本命题出发，依据特定的演绎规则，推导是系列定理，从而构成一个演绎系统的方法。

公理化思想方法的作用

(1)这种方法具有分析、总结数学知识的作用。

(2)公理化方法有利于比较各门数学的实质性异同。

(3)数学公理化方法在科学方法上有示范作用。

(4)公理化方法所显示的形式的简洁性、条理性和结构和谐性确实符合数学美的要求。

二、直观公理化时期——几何原本

《几何原本》

公元前3世纪，

1607年 前6卷译成中文

“ 此书有四不必：不必疑，不必揣，不必试，不必改。有四不得：欲脱之不可得，欲驳之不可得，欲减之不可得，欲前后更之不可得。有三至三能：似至晦实至明，故能以其明明他人之至晦；似至繁实至简，故能以其简简他人之繁；似至

难实至易，故能以其易易他人之难。易生于简，简生于明，综其妙在明而已”——徐光启

《几何原本》的主要内容

共13卷 第一卷：提出23个定义、5条公设、

5条公理、 48个命题

第一卷从定义、公设、公理开始，接着用 48个命题讨论了关于直线和由直线构成的平面图形。

第二卷：14个命题

包含论线段计算、黄金分割、勾股定理等。

第三卷：37个命题

包含圆心角、圆周角、切线、割线的理论及圆幂定理等。

命题16 在圆的直径的端点所作直径的垂线必在圆外，不能有其它的直线插在这垂线与圆之间，而且半圆的角大于锐角，其余的角小于任意锐角。

第四卷：16个命题

包含圆的内接和外多边形的性质及正5、6边形的作图等。

第五卷：25个命题

内容为欧道克斯的比例论 第六卷：33个命题

包含平行截定理论、三角形的平分角线定理、相似三角形定理、比例线段的作图等。

第七～九卷：数论初步

第十卷：讨论不可公度量的分类，包括与整数的开方有关的几何运算。

第十一～十三卷：立体几何，分别由40、18、19个命题组成。包含直线与平面的位置关系、多面角、棱柱体、相似体积之比及正多面体等

三、思辨性的公理化时期——非欧几何

《原本》的成就：

集古代数学之大成，论证严密，影响深远，是2000千年来公认的第一部科学巨著。其中作了公理法基础上逻辑建立几何学的尝试。

《原本》的不足：

《原本》的逻辑体系是不严密、不完备的

1、缺少连续公理

2、缺少合同公理

3、缺少顺序公理

《原本》对一些基本元素（原始概念），如点、线、面等进行定义，这是不可能的。

四、形式主义公理化时期

——希尔伯特的《几何基础》

希尔伯特的公理系统，放弃了欧氏体系中公理的直观显然性，把初等几何中有关基本概念的根本关系和性质抽取出来作为公理，给出了一个自然、简明、全面而又严密的几何公理系统。 与欧氏公理系统不同的是，他对公理体系中基本概念和公理不给予任何具体

的称为点、线、面。

在这三个集合中，引进用“结合”、“顺 序”、“合同”、“连续”、“平行”等词表示的五种关系，而关系的性质用相应的五组公理来刻画。

五、

结构主义的公理化时期

——布尔巴基的《数学原本》

19世纪末20世纪初

希尔伯特建立了严密的几何公理

皮亚诺建立了自然数公理

戴德金建立了实数公理

策梅洛和弗伦克尔创立了集合公理

豪斯多夫提出了拓扑空间的公理公定义

勒贝格提出了可列可加的测度公理

柯尔莫哥洛夫创建了概率的公理化定义

六、张景中欧氏几何公理体系

公理1（距离公理）两点A、B决定一个距离AB,AB是非负实数。ABBA，且AB0当且仅当AB时成立。

公理2（线段连续公理），若A、B是不同两点，则对任意给定是非负实数有唯一的一个点P，使得下列两条件同时成立。

r，1）APr；

rAB时，有APPBAB,当rAB2）当时，有ABBPAP. 定义1（线段的定义）设A、B是两个任意点，一切满足条件PAPBAB的点P组成的集合, A、B分别叫做AB的端点，当AB时，说线段AB退化为一点。

定义2（延长线定义）

设A、B是不同两点，一切则满足条件ABBPAP的点P的集合，叫做AB（在B侧）的延长线。

定义3 设A、B是不同两点，线段AB和AB（在B侧）的延长线的并集，叫做以A为端点，沿AB方向的延长线。

定义4 设A、B是不同两点，AB的延长线、BA的延长线和AB之并，叫做由AB确定的一条直线。 点P在直线AB上的充要条件是下列三式之一成立

APPBABABBPAPBAAPBP

公理3（面积公理）

三点A、B、C决定一个面积是非负实数，且ABC，ABCABCACBBACBCA

CBACAB, 当 A、B、C不在同一直线上时ABC0。

公理4（非退化公理）

平面上至少有三点A、B、C 使ABC0。 公理5（线性公理）

若A、B、C三点在一直线上，

ABAC，P是平面上任一点则

ABCPAC。