1.4.1 全称量词优质公开课教案

淘出优秀的你

1.4.1 全称量词

一、学习目标

1、通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词的含义，熟悉常见的全称量词．

2、了解含有全称量词的全称命题的含义，并能用数学符号表示含有全称量词的命题及

判断其命题的真假性．

3、了解含有一个全称量词命题的否定及其写法. 二、主线问题

问题1; 下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？

（1）2x＋１是整数；

(2)

x＞３；

(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；

（4）平行于同一条直线的两条直线互相平行；

（5）2014年所有高中一年级的学生数学课本都是采用人民教育出版社A版的教科书；

（6）所有有中国国籍的人都是黄种人；

（7）对所有的x∈Ｒ, x＞３；

（8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数. 解：（1）、（2）不能判断真假，不是命题.

（3）、(4)是命题且是真命题.

（5）－（8）如果是假，如果要否定一个结论，只要举出一个反例就行.

注：对于（5）－（8）最好是引导学生将反例用命题的形式写出来.因为这些命题的反例涉及到“存在量词”“特称命题”“全称命题的否定”这些后续内容.（5）的真假就看命题：海师附中今年存在个别（部分）高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；这个命题的真假，该命题为真，所以命题（5）为假；命题（6）是假命题．事实上，存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．

命题（7）是假命题．事实上，存在一个（个别、某些）实数（如x＝2），

x＜３．（至少有一个x∈Ｒ, x≤３）

命题（8）是真命题.事实上不存在某个x∈Ｚ，使2x＋１不是整数.也可以说命题：存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数，是假命题．

问题2 ：命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）之间有什么关系? 命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到

“所有的”“任意一个”

这样的www.91taoke.com

联系电话：4000-916-716

淘出优秀的你

词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做全称量词，用符号“”表示

注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语"any"中的首字母.

全称量词

日常生活和数学中所用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词可统称为全称量词，表示个体域里的所有个体. 全称命题

含有全称量词的命题，叫做全称命题. 通常将含有变量x的语句用p（x），q（x），r（x），……表示，变量x的取值范围用M表示. 全称命题“对M中任意一个x，都有p（x）成立”可用符号简记为：xM,

p（x），读做“对任意x属于M，有p（x）成立”.

★Ⅰ

要判定全称命题“

x∈M,

p(x) ”是真命题，需要对集合M中每个元素x,

证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题

注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语"any"中的首字母.

三、例题预热

知识点一

全称命题的判断

例1、判断下列语句哪个是全称命题：

(1)凸多边形的外角和等于360°；

(2)有的向量方向不定；

(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；

(4)有些素数的和仍是素数；

(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

分析

先看是否有全称量词，当没有时，要结合命题的具体意义进行判断．

解

(1)可以改写为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称命题．

(2)不是

(3)含有全称量词“任意”，故是全称命题．

(4)不是

(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称命题．

练习：判断下列语句是不是全称命题，如果是，用量词符号表达出来. （1）中国的所有江河都注入太平洋；

（2）0不能作除数；

www.91taoke.com

联系电话：4000-916-716

淘出优秀的你

（3）任何一个实数除以1，仍等于这个实数；

（4）每一个向量都有方向；

分析：（1）全称命题，河流x∈{中国的河流}，河流x注入太平洋；

（2）不是

（3）全称命题，

x∈R，知识点二

判断全称命题的真假

例2、试判断以下命题的真假：

(1)∀x∈R，x2＋2>0

(2)∀x∈N，x4≥1

分析

要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)．

解：(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0.所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．

(2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立．所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．

练习2：

判断下列命题的真假：

(1)对任意的x,y都有xy2xy；

(2)所有四边形的两条对角线都互相平分；

解：(1)是真命题，因为对任意实数x,y，都有xy2xy(xy)0，

∴xy2xy. (2)是假命题，只有平行四边形才满足两条对角线互相平分，如梯形就不满足这个条件. 四、目标检测

1．将下列命题用含有“∀”的符号语言来表示．

(1)任意一个整数都是有理数，

(2)实数的绝对值不小于0，

(3)实数的绝对值大于等于0；

(4)任意的实数a，b，c，满足a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc.

(1)∀x∈Z，x∈Q

(2)∀x∈R，|x|≥0

(3)∀x∈R，|x|≥0.

(4)∀a，b，c∈R，a2＋b2＋c2≥ab＋ac＋bc. 2．判断下列命题是否是全称命题？若是，并判断其真假．

(1)矩形的对角线互相垂直平分；

(2)三角形两边之和大于第三边；

解

(1)全称命题，假命题；(2)全称命题，真命题；

3．将“x2+y2≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（

A

）

A．x,yR，都有xy2xy

B．x,yR，都有xy2xy

C．x0,y0，都有xy2xy

D．x0,y0，都有xy2xy

www.91taoke.com

联系电话：4000-916-716

22222222x1x；

（4）全称命题，a，a有方向；

2222222

淘出优秀的你

4．下列语句不是全称命题的是(

C

) A．任何一个实数乘以零都等于零

B．自然数都是正整数

C．高二(一)班绝大多数同学是团员

D．每一个向量都有大小

解析

“高二(一)班绝大多数同学是团员”，即“高二(一)班有的同学不是团员”，这是特称命题．故选C. 25．给出下列几个命题：①至少有一个x0，使x0＋2x0＋1＝0成立；②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；

③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x0，使x20＋2x0＋1＝0成立．其中是全称命题的个数为(

B

) A．1

B．2

C．3

D．0

解析

命题②③都含有全称量词“任意的”，故②③是全称命题．

五、小结与反思

www.91taoke.com

联系电话：4000-916-716