习题2.4优秀完整教案

高中数学教案

第8章圆锥曲线方程（第18课时）

课

题：小结与复习（二）

教学目的：

1

通过小结与复习，使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系

2 通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧，尤其是解析几何的基本方法――坐标法；并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想以及“应用数学”的意识

3 结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育

教学重点：三种曲线的标准方程和图形、性质

教学难点：做好思路分析，引导学生找到解题的落足点 授课类型：新授课

课时安排：1课时

教

具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、讲解范例：

例1

根据下列条件，写出椭圆方程

⑴

中心在原点、以对称轴为坐标轴、离心率为1/2、长轴长为8；

⑵

和椭圆9x2+4y2=36有相同的焦点，且经过点(2，－3)；

⑶

中心在原点，焦点在x轴上，从一个焦点看短轴两端的视角为直角，焦点到长轴上较近顶点的距离是10－5

分析：

求椭圆的标准方程，首先要根据焦点位置确定方程形式，其次是根据a2=b2+c2及已知条件确定a2、b2的值进而写出标准方程

解

⑴

焦点位置可在x轴上，也可在y轴上，

xy2y2x21或1

因此有两解：16121612x2y2

⑵

焦点位置确定，且为（0，5），设原方程为221,(a>b>0)，aba2b25y2x221

由已知条件有9

a15,b10,故方程为41510221ba

x2y2⑶

设椭圆方程为221,(a>b>0) ab

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由题设条件有bcac105

及a2=b2+c2，解得b=5,a10, xy21

故所求椭圆的方程是105x2y2例2

从椭圆221,(a>b>0)上一点M向x轴所作垂线恰好通过椭圆的左ab焦点F1，A、B分别是椭圆长、短轴的端点，AB∥OM设Q是椭圆上任意一点，当QF2⊥AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P，若⊿F2PQ的面积为203，求此时椭圆的方程

解

可用待定系数法求解

x2y2∵b=c,a=2c，可设椭圆方程为221

2cc∵PQ⊥AB,∴kPQ=-1a2，则PQ的方程为y=2(x-c)，

kABb代入椭圆方程整理得5x2-8cx+2c2=0，

根据弦长公式，得PQ＝62c, 5又点F1到PQ的距离d=26c 3∴SF1PQ1432432PQdc

,由c203，得c225,

255x2y21

故所求椭圆方程为5025x2y21，过左焦点F作倾斜角为的直线交椭圆于A、例3

已知椭圆：69B两点，求弦AB的长

解：a=3,b=1,c=22;

则F（-22，0）

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x2y21联立消去y得：

(x22)与由题意知：l:y9314x2122x150

设A（x1,y1)、B（x2,y2)，则x1,x2是上面方程的二实根，由违达定理，x1x232

x1x2xx23215，xM1又因为A、B、F都是直线l上的点，

422所以|AB|=1|x1x2|1323(x1x2)24x1x22318152

点评：也可让学生利用“焦半径”公式计算

例4

中心在原点，一个焦点为F1（0，50）的椭圆截直线y3x2所得弦的中点横坐标为1，求椭圆的方程

2分析：根据题意，可设椭圆的标准方程，与直线方程联立解方程组，利用韦达定理及中点坐标公式，求出中点的横坐标，再由F1（0，50）知，c=50，a2b250，最后解关于a、b的方程组即可

x2y2解：设椭圆的标准方程为221(ab0)，

ab由F1（0，50）得

ab50

把直线方程y3x2代入椭圆方程整理得：

22(a29b2)x212b2xb2(4a2)0

设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2)，则由根与系数的关系得：

12b2x1x22，

a9b2

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x1x216b212又AB的中点横坐标为，

2222a9ba23b2，与方程a2b250联立可解出a275,b225

x2y21

故所求椭圆的方程为：7525例5 直线ykx1与双曲线3x2y21相交于A、B两点，当a为何值时，A、B在双曲线的同一支上？当a为何值时，A、B分别在双曲线的两支上？

解：

把ykx1代入3x2y21

整理得：(3a2)x22ax20……（1）

当a3时，244a

2由>0得6a6且a3时，方程组有两解，直线与双曲线有两个交点

若A、B在双曲线的同一支，须x1x22>0 ，所以a3或a3

a23故当6a3或3a6时，A、B两点在同一支上；当3a3时，A、B两点在双曲线的两支上

例6 已知双曲线的中心在原点，过右焦点F（2，0）作斜率为双曲线于M、N 两点，且MN=4，求双曲线方程

3的直线，交5x2y2解：设所求双曲线方程为221(a0,b0)，由右焦点为（2，0）知C=2，abb=4-a

22x2y231则双曲线方程为2，设直线MN的方程为：y(x2)，代入a4b25双曲线方程整理得：(20-8a)x+12ax+5a-32a=0 22242

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12a2

设M（x1,y1）,N(x2,y2),则x1x2，

208a25a432a2x1x2

2208a3MN158522x1x24x1x2 212a25a432a2208a24208a24

2解得：a1，b413

y21

故所求双曲线方程为：x32点评：利用待定系数法求曲线方程，运用一元二次方程得根与系数关系将两根之和与积整体代入，体现了数学的整体思想，也简化了计算，要求学生熟练掌握

y21，过点 A（2，1）的直线与已知双曲线交于P、Q例7 已知双曲线x22两点（1）求PQ中点的轨迹方程；（2）过B（1，1）能否作直线l，使l与所给双曲线交于两点M、N，且B为MN的中点，若存在，求出l的方程，不存在说明理由

解：（1）设P（x1,y1）、Q(x2,y2),其中点为（x，y）,PQ的斜率为k, 若PQ的斜率不存在显然（2，0）点是曲线上的点

若PQ的斜率存在，由题设知：

yy2x111…（1） x221…（2）

22222（2）-（1）得：(x1x2)(x2x1)

(y1y2)(y2y1)0

2x1x2kxk，即…（3）

y2y1y22

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又ky1代入（3）整理得：2x2y24xy0

x2（2）显然过B点垂直X抽的直线不符合题意只考虑有斜率的情况设l的方程为y-1=k(x-1) y21，整理得：

代入双曲线方程x222kx222k1kxk22k30…※

2k1k2解得：k=2 22k设M（x1,y1）、N(x2,y2)则有x1x2又直线与双曲线必须有两不同交点，

所以※式的4k21k42k2k22k3o

2把K=2代入得8<0，

故不存在满足题意的直线l

例8 已知抛物线方程为y22p(x1)(p0)，直线l:xym过抛物线的焦点F且被抛物线截得的弦长为3，求p的值．

解：设l与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|3.

由距离公式

k|AB|=(x1x2)2(y1y2)2=11|y1y2|2|y1y2|

2则有

(y1y2)29.

2pxy1,由2消去x,得y22pyp20.

y22p(x1).

(2p)24p20.y1y22p,y1y2p2.

从而(y1y2)2(y1y2)24y1y2,即(2p)24p29.由于p>0，解得p23

4例9 如图，线段AB过x轴正半轴上一点M（m,0）（m>0），端点A、B到x轴y距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物A线

（1）求抛物线方程；

O

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MBx

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（2）若tgAOB1，求m的取值范围

解：（1）当AB不垂直x轴时，设AB方程为

yk(xm).抛物线方程y22px(p0)

yk(xm)由得ky22py2pkm0,y1y22pm|y1y2|2pm2m

2y2pxp1.当ABX轴时,A,B分别为(m,2Pm),(m,2pm),由题意有2pm2m,p1，

故所求抛物线方程为y22x.

（2）设A(y1,y1),B(y2,y2)由(1)知

222y1y22m,y1y2

k48m,

2k22k1,k2,y1y222

|y1y2|(y1y2)24y1y2

又tgAOB1|22|y1y2141y1y2即y1y242|y1y2|,2m42①，

48m2k平方后化简得

m212m44k2m212m40,m642或m642

又由①知

2m40,m2m的取值范围为

0m642当m642且ABx轴时，

y12(21),y22(21),y1y24(21)22m.tanAOB1

符合条件，

故符合条件的m取值范围为0m642.

二、课堂练习：

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1．直线l:ykx2与曲线x2y21x0，相交于A、B两点，求直线l的倾斜角的范围答案：3,,

42242．直线ykx1与双曲线x2y21的左支仅有一个公共点，求K的取值范围答案：1k1或k2

y21与点P（1，2）3．已知双曲线x，过P点作直线L与双曲线交于A、B22两点，若P为AB的中点（1）求直线AB的方程（2）若Q为（-1，-1），证明不存在以Q为中点的弦答案

AB：x-y+1=0 y21(x1)，一条长为8的弦AB的两端在曲线上运动，其中4．双曲线x32515点为M，求距Y轴最近的点M的坐标答案：,22

5．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线，截直线y2x4所得的弦长为35，求抛物线的方程答案：y4x或y36x

226．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为E、G，则EFG等于 （ B

）

A．45 B90 C60 D120

00007若抛物线y8x被过焦点，且倾斜角为135的直线所截，求截得的线段的20中点坐标答案：6,4 8过点1,6的直线l与抛物线y4x交于A、B两点，求直线l的斜率K2的取值范围答案：310,00,310

9．过点A2,4作倾斜角为45的直线交抛物线y2pxp0于点P1、02

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P2，若P1P22AP1AP2，求实数p的值答案：p1

三、小结

：

（1）直线与曲线的位置关系有相离、相切、相交三种

（2）判断其位置关系看直线是否过定点，在根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系

（3）可通过解直线方程与曲线方程解的个数来确定他们的位置关系但有一解不一定是相切，要根据斜率作进一不的判定

四、课后作业：

五、板书设计（略）

六、课后记：采用数形结合、类比联想（椭圆）、启发诱导的教学方法，注重思维能力的培养和学生动手操作的能力的训练，同时结合几何画板进行动画演示，验证结果（特别是轨迹问题）

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