习题2.3公开课教案

金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com

解析几何中的最值问题

一、教学目标

解析几何中的最值问题以直线或圆锥曲线作为背景，以函数和不等式等知识作为工具，具有较强的综合性，这类问题的解决没有固定的模式，其解法一般灵活多样，且对于解题者有着相当高的能力要求，正基于此，这类问题近年来成为了数学高考中的难关。基本内容：有关距离的最值，角的最值，面积的最值。

二、教学重点

方法的灵活应用。

三、教学程序

1、基础知识

探求解析几何最值的方法有以下几种: (1)函数法（设法将一个较复杂的最值问题，通过引入适当的变量能归为某初等函数（常见）的有二次函数和三角函数）的最值问题，然后通过对该函数单调性和最值的考察使问题得以解决。

(2)不等式法：（常用的不等式法主要有基本不等式等）

(3)曲线定义法：利用圆锥曲线的定义刻画了动点与动点（或定直线）距离之间的不变关系，一般来说涉及焦半径、焦点弦的最值问题可以考虑该方法

（4）平面几何法：有些最值问题具有相应的几何意义（如分式最值联想到斜率公式，求平方和最值联想到距离公式等等）

（1）函数法

例1、已知P点在圆xPQ2y41上移动，Q2点在椭圆x29y21上移动,试求的最大值。

分析：两个都是动点，看不出究竟，P、Q在什么位置时|PQ|最大

故先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|OQ|的最大值。

说明：函数法其我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不易忽视。

例2 在平面直角坐标系xOy中，点Px,y是椭圆求Sxyx23y21上的一个动点，的最大值

（2）不等式法

第

1 页

共

4 页

金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com

例2、

设F1,F2是椭圆则PF1PF

解：x24y21的两个焦点，P是这个椭圆上任一点，2的最大值是

PF24

PF1由PF1PF22PFPF(PFPF1PF21得

4

PF42)212即PF1PF2的最大值是4 。

说明：在用基本不等式时要注意条件“一正二定三相等”须同时具备，缺一不可

(3)曲线定义法：

例3、

给定点A(2,2)，已知B是椭圆AB53BFx225y2161上的动点，F是右焦点，当取得最小值时，试求B点的坐标。

35分析：因为椭圆的离心率e，所以AB53BFAB1eBF，而1eBF为动点B到左准线的距离。故本题转法为，在椭圆上求一点B，使得它到A点和左准线的距离之和最小，过点B作l的垂线，垂点为N，过A作此准线的垂线，垂点为M，由椭圆定义

|BF||BN|e|BN||BF|e53|BF|

为定值

于是

AB53BF|AB||BN||AN|AM其中，当且仅当B点AM与椭圆的定点时等点成立，

此时B为(52533,2)

523所以，当ABBF取得最小值时，B点坐标为(,2)

说明：圆锥曲线的定义在处理许多解析几何问题（包括最值问题）时常常显得极其简便。

（4）平面几何法

例4、已知x,y满足x22y21(y2),2

第

2 页

共

4 页

金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com

(1)求y3x3的最大值和最小值; ，求b的最大值和最小值。

(2)若b2xy例4.椭圆离心率为，过点M（1，2），并以y轴为准线，则长轴的最大值为（

）

A.1

B.2

C.3

D.4

分析：设椭圆方程为由已知得，a2=4c2

b2=3c2 m=4c，椭圆为化为12c2-8c+1=

2．综合问题

例5、已知椭圆xa22. 故选A. yb221ab0过点3,2，离心率为2332，圆O的圆，过圆M心为坐标原点，直径为椭圆的短轴，圆M的方程为x8上任一点P作圆的切线PA,PB，切点分别为A,B

(1)求椭圆的方程；

y64(2)若直线PA与圆M的另一交点为Q点，当弦PQ最大时，求PA的方程

(3)求OAOB的最大值与最小值。

例5.设动点P到定点F（1，0）及定直线L：x=3距离之和为4，求P点轨迹方程，并画出草图.若过F点的直线被上述轨迹截得弦AB，求|AB|的最大值.

解：设动点P（x,y），P到定直线L的距离d=|x-3|依题意|PF|+d=4. 即

若x≥3，；.∴P点轨迹为

第

3 页

共

4 页

金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com

金太阳新课标资源网

wx.jtyjy.com

设直线AB的倾角θ.

.

3归纳小结

（1）.解决解几中最值问题的基本思路: （2）求最值常见的方法和技巧：

4．课后思考题：

（2001年春季高考北京、安徽试题）已知抛物线

，过动点M（a,0）且斜率为1的直线L与该抛物线交于不同两点A、B，（1）求a的取值范围。（2）若线段AB的垂直平分线交x轴与点N，求

面积的最大值。

第

4 页

共

4 页

金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com