1.1.2 四种命题优秀教案案例

1.2

命题及其关系、逻辑联结词、充分条件与必要条件

【考纲解读】

考

点

考纲内容

5年统计

分析预测

1.该部分知识独立考查的可能性很小，注意体现在具体命题的判断及逻辑推理的思维活动中。

2.备考重点：

(1) 命题的真假的判断；

(2)充分条件、必要条件的判断

1. 理解原命题和原命题的逆命无独立命题

题、否命题、逆否命题的含义，及其相互之间的关系。

2. 了解逻辑联结词“且”、“或”、“非”的含义。

2017浙江6 理解命题的必要条件、充分条件、2016浙江文6 充要条件的意义，能判断并证明2015浙江文3，理6 命题成立的充分条件、必要条件、2014浙江文2，理2 充要条件。

2013浙江文,3，理4 1.命题及其关系

2.充分条件和必要条件

【知识清单】

1．命题及其关系

（1）命题的概念

在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

（2）四种命题及相互关系

（3）四种命题的真假关系

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．

对点练习：

有下列四个命题（1）若“xy1，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若AB=B，则”的逆否命题。其中真命题为（

）

A、（1）（2）

B、（2）（3）

C、（4）

D、（1）（3）

【答案】D

2．逻辑联结词

（1）用联结词“且”联结命题p和命题q，记作____，读作______”．

（2）用联结词“或”联结命题p和命题q，记作_____，读作“____”．

（3）对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作_____，读作“_____”．

（4）命题p且q、p或q、非p的真假判断

对点练习：

【2017山东，理3】已知命题p:题为真命题的是

（A）

pqx＞0,lnx1＞0；命题q：若a＞b，则a2＞b2，下列命

（B）pq

（C）

pq

（D）pq

【答案】B

3．充分条件与必要条件

(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．

(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．

对点练习：

|x1|1【2017天津，文2】设xR，则“2x0”是“”的

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【考点深度剖析】

高考对命题及其关系和充分条件、必要条件的考查主要是以小题的形式来考查，由于知识载体丰富，因此题目有一定综合性，属于中、低档题．命题重点主要集中在以函数、方程、不等式、立体几何线面关系、数列等为背景的充分条件和必要条件的判定．从近5年命题看，其在试卷中的位置逐步后移，难度较以往略大. 【重点难点突破】

考点1四种命题的关系及真假判断

ab14,它的逆命题、否命题、逆否命题【1-1】给出命题：已知实数a,b满足ab1，则三个命题中，真命题的个数是（ ）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3 【答案】B 222【解析】∵ab11(ab)a2abb4abab1ab14．∴原命题为真，从而逆否命题为真；若4，显然得不出ab1，故逆命题为假，因而否命题为假，选B．

【1-2】命题“若x,y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是（

）

A．若xy是偶数，则与y不都是偶数

B．若xy是偶数，则与y都不是偶数

C．若xy不是偶数，则与y不都是偶数

D．若xy不是偶数，则与y都不是偶数

【答案】C

【领悟技法】

1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系（尤其是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：

（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题；

（2）同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题；

（3）交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。

注意：在写其他三种命题时，大前提必须放在前面。

2.正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．

3. 判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断

其逆否命题的真假．

4. 否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．

【触类旁通】

π【变式一】命题“若△ABC有一内角为3，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题(

) A．与原命题同为假命题

B．与原命题的否命题同为假命题

C．与原命题的逆否命题同为假命题

D．与原命题同为真命题

【答案】D 【解析】原命题显然为真，原命题的逆命题为“若ABC的三内角成等差数列，则ABC有一内角为3”，它是真命题．

【变式二】下列命题中为真命题的是(

) xyA．命题“若xy，则”的逆命题

B．命题“x1，则x2>1”的否命题

2C．命题“若x＝1，则x＋x－2＝0”的否命题

2D．命题“若x0，则x1”的逆否命题

【答案】A

考点2含有逻辑联结词的命题

【2-1】【2017届山东青岛二模】已知命题p,q，“p为假”是“pq为真”的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】解：若“p为假”，则“p”为真，“pq为真”，充分性成立；

若“pq为真”，则“p”为真或“q”为真，

即“p为假” 或“q为假”，必要性不成立；

综上可得：“p为假”是“pq为真”的充分不必要条件

. 本题选择A选项. 222【2-2】【2017山东，文5】已知命题p：xR,xx10;命题q：若ab,则a

A．pq

B.pq

C.pq

D.pq

【答案】B 【解析】

2由x0时xx10成立知p是真命题,由1(2),12可知q是假命题,所以22pq是真命题,故选B. 【领悟技法】

1．逻辑联结词与集合的关系：“或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．

2．“pq”“pq”“p”形式命题真假的判断步骤：

（1）确定命题的构成形式；

（2）判断其中命题p、q的真假；

（3）确定“pq”“pq”“p”形式命题的真假．

3．含逻辑联结词命题真假的等价关系

（1）pq真⇔p,q至少一个真⇔(p)(q)假. （2）pq假⇔p,q均假⇔(p)(q)真. （3）pq真⇔p,q均真⇔(p)(q)假. （4）pq假⇔p,q至少一个假⇔(p)(q)真. （5）p真⇔p假; p假⇔p真. 4．命题p且q、p或q、非p的真假判断规律：pq中p、q有一假为假，pq有一真为真，p与非p必定是一真一假．

【触类旁通】

|x1|【变式一】已知命题(p：函数ye的图像关于直线x1对称，：函数qycos(2x6)的图像关于点6,0)对称，则下列命题中的真命题为（

）

A．pq

B．pq

C．pq

D．pq

【答案】A

【变式二】【2017届安徽蚌埠二模】在射击训练中

，某战士射击了两次

，设命题p是“ 第一次射击击中目标”，命题是“ 第二次射击击中目标

”，则命题“两次射击中至少有一次没有击中目标”为真命题的充要条件是

（

）

A. C. pq

为真命题

B. pq

为真命题

D. pqpq

为真命题

为真命题

【答案】A

考点3

充分必要条件的判定

【3-1】【2017浙江卷6】已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

试题分析：由S4S62S50S4S62S510a121d2(5a110d)dS4S62S5，可知当d0，则，所以为充要条件，，即，反之，S4S62S5d0选C．

nis【3-2】【2017浙江杭州重点中学期中】在△ABC中，“B1”是“△ABC为直角三角形”的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】

B2，所以ABC为直角三角形；但若ABC为直角三角在ABC中，若sinB1，则形，则sinB1或sinA1或sinA1，所以在ABC中，“sinB1”是“ABC为直角三角形”的充分不必要条件，故选A．

【3-3】【2017届浙江高三上学期模拟】“直线与平面内的两条直线都垂直”是“直线与平面垂直”的（

）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】B. 【解析】

【领悟技法】

充要关系的几种判断方法

(1)定义法：若

是的必要而不充分条件；若是的既不充分也不必要条件。

(2)等价法：即利用pq与qp；qp与pq；pq与q

，则是的充分而不必要条件；若，则是的充要条件；

若

，则

，则p的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．

(3) 集合关系法：从集合的观点理解，即若满足命题p的集合为M，满足命题q的集合为N，则M是N的真子集等价于p是q的充分不必要条件，N是M的真子集等价于p是q的必要不充分条件，M＝N等价于p和q互为充要条件，M，N不存在相互包含关系等价于p既不是q的充分条件也不是q的必要条件

【触类旁通】

【变式一】【2017浙江湖州、衢州、丽水4月联考】已知平面与两条不重合的直线a,b，则“a，且b”是“a//b”的(

) A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】若a,b，则必有a//b，但a//b时，直线a,b与平面可以平行，可以相交，可以在平面内，不一定垂直，因此“a,b”是“a//b”的充分不必要条件，故

选A．

【变式二】【2017浙江“超级全能生”3月联考】“函数“a1”的（

）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分不用必要条件

【答案】B fx1x0fxalnxxe存在零点”是【解析】

,所以若函数alnxxefxalnxxe存在零点,则fe0,a1

,因此“函数

fx存在零点”是“a1”的必要不充分条件,选B. 考点4

充分条件与必要条件的应用

【4-1】给定两个命题p，,若p是的必要而不充分条件，则p是q的

A.充分不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】A 【解析】由qp且pq可得pq且qp，所以p是q的充分不必要条件. 1xAx|28,xR2，B【4-2】已知集合x|1xm1,xR，若xB成立的一个充分不必要条件是xA，则实数m的取值范围是

．

（2，）

【答案】

【领悟技法】

１．充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)要注意区间端点值的检验．

２．对于充要条件的证明问题，可用直接证法，即分别证明充分性与必要性。此时应注意分清楚哪是条件，哪是结论，充分性即由条件证明结论；而必要性则是由结论成立来证明条件也成立，千万不要张冠李戴；也可用等价法，即进行等价转化，此时应注意的是所得出的必须是前后能互相推出，而不仅仅是“推出”一方面（即由前者可推出后者，但后者不能推出前者）。

【触类旁通】

【变式一】【2017河北衡水押题卷】已知命题pp：“关于的方程x4xa02有实根”，若为真命题的充分不必要条件为a3m1，则实数m的取值范围是（

）

A. 1,

B. 1,

C. ,1

D. ,1

【答案】B 【解析】命题p：

a4，

p为a4，又p为真命题的充分不必要条件为a3m1，故3m14m1

【变式二】若f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)＋1<3}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是(

) A．(－∞，－1] B．(－1，＋∞)

C．3，＋∞)

D．(3，＋∞)

【答案】D

【易错试题常警惕】

1易错典例：已知不等式____________．

1xxm1成立的充分不必要条件是3x12，则m的取值范围是12”是“xm1”的充分条件，但不是必要条件，学生容易看成必易错分析，(1)“311AxxB23要条件；(2)从集合的角度看，若设，xxm1，则AÜB，学生容易看成AB. 1x12是不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件．所以正确解析：由题意知：311xxxxm1xxm123是的真子集．而x1mx1m，所

11m314141m1,m232，解得2. 3，所以m的取值范围是以有温馨提醒：利用充分条件、必要条件求解参数的值或取值范围是高考的一个重点内容，解答此类问题的关键是从正反两方面考虑，紧扣充分条件、必要条件的定义，若有大前提，在进行正反两方面推理时，大前提都要参与推理，是推理的条件．本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．

【素养提升之思想方法篇】

---------转化与化归思想

转化与化归思想是指在对问题做细致观察的基础上，展开丰富的联想，把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题，借助旧知识、旧经验来处理新问题的一种重要的思想方法。转化与化归思想在本节中的应用主要是:(1)判断命题真假:原命题和其逆否命题同真同假,原命题的逆命题和原命题的否命题同真同假；（2）充要条件和集合的包含关系间的等价转化等

x＋2≥0，【典例】已知命题p：命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若q是p的必要而不充x－10≤0，

分条件，则m的取值范围为________．

【答案】

9，＋∞)