1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）第二课时教学设计

1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积

教学目标

1.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。

2.通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的体积的求法。

3.能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。

教学重点

教学重点：运用公式解决问题

教学难点：理解计算公式的由来. 教学难点

侧面展开图．

教学过程

（一）情景导入

已知ABB1A1是圆柱的轴截面，AA1＝a，AB=a，P是BB1的中点；一小虫沿圆柱的侧面从A1爬到P，求小虫爬过的最短路程．

34BPAP

讨论：正方体、长方体的侧面展开图？→

正方体、长方体的表面积计算公式？

讨论：圆柱、圆锥的侧面展开图？

→

圆柱的侧面积公式？圆锥的侧面积公式？

那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。

（二）检查预习

1．棱柱的侧面展开图是由 ，棱锥的侧面展开图是由 ，梭台的侧面展开图是由 ，圆柱的侧面展开图是 ，圆锥的侧面展开图是 ，圆台的侧面展开图是 。

2．几何体的表面积是指

，棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求 、 ，圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求 、

、

、

。

1 B1A1

3．几何体的体积是指 ，一个几何体的体积等于

（三）合作探究

面积探究: 。

讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）

讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）

体积探究: 讨论：正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式？

（四）精讲精练

1. 教学表面积计算公式的推导：

①

讨论：如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积？（展开成平面图形，各面面积和）

②

练习：1.已知棱长为a，各面均为等边三角形的正四面体S-ABC的表面积.(教材P24页例1) 2. 一个三棱柱的底面是正三角形，边长为4，侧棱与底面垂直，侧棱长10,求其表面积. ③

讨论：如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积？（图→侧→表）

圆柱S圆柱侧=2rl，S圆柱表=2r(rl)，其中为r圆柱底面半径，l为母线长。

圆锥：S圆锥侧=rl， S圆锥表=r(rl)，其中为r圆锥底面半径，l为母线长。

圆台：S圆台侧=(rR)l，S圆台表=(r2rlRlR2). 例1．已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为r，圆柱侧面积为S，求圆锥的侧面积。

解：设圆锥的母线长为l，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为r，即S圆柱侧S，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为SS，由题意得圆锥的高为，又圆柱的底面半径为r，根据2r2r勾股定理，圆锥的母线长lr2(S2)，根据圆锥的侧面积公式得

2r42r4S2.

2S圆锥侧S2rlrr()2r2变式训练:若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的表面积为（ ）

2

A．183

B．153

C．2483

D．24163

分析：该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三角形的高为23，正三棱柱的高为2，则底面等边三角形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为

2. 教学柱锥台的体积计算公式：

①

讨论：等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系？（祖暅(gèng，祖冲之的儿子)原理，教材P30）

②

根据正方体、长方体、圆柱的体积公式，推测柱体的体积计算公式？

→给出柱体体积计算公式：V柱Sh

（S为底面面积，h为柱体的高）→V圆柱Shr2h

③

讨论：等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系？

等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系？

④

根据圆锥的体积公式公式，推测锥体的体积计算公式？

→给出锥体的体积计算公式：V锥Sh S为底面面积，h为高）

⑤

讨论：台体的上底面积S’，下底面积S，高h，由此如何计算切割前的锥体的高？

→

如何计算台体的体积？

⑥

给出台体的体积公式：V台(S'S'SS)h （S，S'分别上、下底面积，h为高）

→

V圆台(S'S'SS)h(r2rRR2)h

（r、R分别为圆台上底、下底半径）

⑦

比较与发现：柱、锥、台的体积计算公式有何关系？

从锥、台、柱的形状可以看出，当台体上底缩为一点时，台成为锥；当台体上底放大为与下底相同时，台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式

13131313

讨论：侧面积公式是否也正确？

圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一？

3

公式记忆：V锥Sh

131V台(S'S'SS)h

311V圆台(S'S'SS)h(r2rRR2)h

33

例2.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（ ）

A．3

3B．23

3

C．3

D．

3分析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为3，所以这个几何体的体积为

V112333.

3答案：A 变式训练: 如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为（ ）

A．1

课外作业

反馈练习

[ 1.3.1 空间几何体的表面积] 1、如图是正方体纸盒的展开图，那么直线AB、CD在原来

正方体中位置关系是（

）

A、平行

B、垂直相交且成60°

C、垂直

D、异面且成60°

B．1

2C．1

3D．1

6

4

2、已知圆柱的侧面积为4，则当轴截面的对角线长取最小值时，圆柱母线长l与底面半径r的关系是（

）

A、lr

B、l2r

C、l3r

D、l4r

3、一张长、宽分别为8cm、4cm的矩形硬纸板，以这硬纸板为侧面，将它折成正四棱柱，则此四棱柱的对角线长为

．

4、将半径为R的圆分割成面积之比为1∶2∶3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为r1、r2、r3；则r1+r2+r3的值为

．

5、如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，ABa，BCb，BB1c，并且abc0；

求沿着长方体的表面自A到C1的最短路线的长．

5