1.2.1 充要条件教学实录

1．2．2

充要条件

肖银花

学习目标：

1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．

2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．

3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．

新知提炼：

1．充分条件与必要条件

命题真假

“若p，则q”是真命题

“若p，则q”是假命题

p⇒q 推出关系

p⇒/q

p是q的充分条件

p不是q的充分条件

条件关系

q是p的必要条件

q不是p的必要条件

(1)若p⇒q，则p是q的充分条件．所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．

(2)若p⇒q，则q是p的必要条件．所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少，缺其不可．有之未必成立，无之必不成立

2．充要条件

如果既有p⇒q，又有q⇒p，则可以记作p⇔q，这时称p是q的充分必要条件，简称充要条件．

p与q互为充要条件时，也称“p等价于q”“q当且仅当p”等．

自我尝试:

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．(

) (2)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(

) (3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(

) (4)q不是p的必要条件时，“p⇒/q”成立．(

) 2. “x＞0”是“x≠0”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3.已知向量a＝(x－1，2)，b＝(2，1)，则a⊥b的充要条件是

(

) 1A．x＝－

B．x＝－1 2C．x＝5

D．x＝0 4. “log3M＞log3N”是“M＞N”成立的________条件．

探究点1

充分、必要、充要条件的判断

例1. 下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件) (1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝x－1；

(2)p：m＞0，q：x2＋x－m＝0有实根；

3(3) p：在△ABC中，A≠60°，q：sin A≠；

2(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．

充分、必要、充要条件的判断方法

(1)定义法

若p⇒q，q⇒/p，则p是q的充分不必要条件；

若p⇒/q，q⇒p，则p是q的必要不充分条件；

若p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件；

若p⇒/q，q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．

(2)集合法

对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：

若A⊆B，则p是q的充分条件；

若A⊇B，则p是q的必要条件；

若A＝B，则p是q的充要条件；

若AB，则p是q的充分不必要条件；

若AB，则p是q的必要不充分条件．

(3)等价法

等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．

练习：指出下列各题中，p是q的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)．

(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；

(2)p：x2＋x－2＞0，q：|x－2|＜1；

(3)p：△ABC有三个内角相等，q：△ABC是正三角形；

(4)p：|a·b|＝a·b，q：a·b＞0．

探究点2

充分条件、必要条件、充要条件的应用

例2. 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

互动探究

1．[变条件]若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．

2．[变问法]本例中p、q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

由条件关系求参数的取值(范围)的步骤

(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．

(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．

练习二.1．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，若q是p的充分条件，则a的取值范围为________．

2．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________．

探究点3

充要条件的证明

例３：求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0．

充要条件的证明策略

(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真．

(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．

当堂检测

π1．“tan α＝1”是“α＝”的(

) 4A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

2．设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

3．设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

24．函数f(x)＝x＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(

) A．m＝－2

B．m＝2 C．m＝－1

D．m＝1

课堂小结

知识结构

深化拓展

1．充分条件、必要条件、充要条件的传递性

(1)若p是q的充分条件，q是s的充分条件，即p⇒q，q⇒s，则有p⇒s，即p是s的充分条件．

(2)若p是q的必要条件，q是s的必要条件，即q⇒p，s⇒q，则有s⇒p，即p是s的必要条件．

(3)若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件．

2．证明充分、必要条件时需注意的两点

(1)分别证明充分性和必要性两个方面，在解题时要避免把充分性当必要性来证明，这就需要分清条件与结论，若从条件推出结论，就是充分性；若从结论推出条件，就是必要性．

(2)等价法：就是从条件(或结论)开始，逐步推出结论(或条件)，但要注意每一步都是可逆的，即反过来也能推出．