1.2.1 中心投影与平行投影优秀说课稿

第一节

空间几何体的三视图、直观图

考纲要求：1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．

2．能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图．

3．会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．

4．会画某些建筑物的三视图与直观图(在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等没有严格要求)．

1．空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

多面体

棱柱

棱锥

棱台

结构特征

有两个面平行，其余各面都是四边形且每相邻两个面的交线都平行且相等

有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形

棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫做棱台

(2)旋转体的形成

几何体

圆柱

圆锥

旋转图形

矩形

直角三角形

旋转轴

矩形一边所在的直线

一直角边所在的直线

直角腰所在的直线或圆台

直角梯形或等腰梯形

等腰梯形上下底中点连线

球

2.空间几何体的三视图

(1)三视图的名称

几何体的三视图包括：正视图、侧视图、俯视图．

(2)三视图的画法

①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．

②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体的正投影图．

半圆或圆

直径所在的直线

3．空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半．

[自我查验]

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(

) (2) 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(

) (3)用一个平面去截一个球，截面是一个圆面．(

) (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．(

) (5)斜二测画法中，原图形中的平行垂直关系在直观图中不变．(

) 答案：(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

(5)×

2．如图，长方体ABCD-A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是________，截去的几何体是________．

答案：五棱柱

三棱柱

3．利用斜二测画法可以得到：①三角形的直观图是三角形；

②平行四边形的直观图是平行四边形；

③正方形的直观图是正方形；

④菱形的直观图是菱形．

以上结论正确的是________．

答案：①②

4．已知空间几何体的三视图如图，则该几何体是由__________________组合而成．

答案：圆柱和正四棱柱

答案：1∶5

[典题1]

(1)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是(

)

(2)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(

)

A

B

C

D

(3)已知三棱锥的俯视图与侧视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一条直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为(

)

(4)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是(

)

[听前试做]

(1)由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成．从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形．

(2)A，B的正视图不符合要求，C的俯视图显然不符合要求，故选D.

(3)当正视图为等腰三角形时，则高应为2，且应为虚线，排除A，D；当正视图是直角三角形，由条件得一个直观图如图所示，中间的线是看不见的线PA形成的投影，应为虚线，故答案为C.

(4)由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为2，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为22. 答案：(1)B

(2)D

(3)C

(4)A

(1)三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．即“长对正，宽相等，高平齐”．

(2)解决有关“斜二测画法”问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量运用图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴，图形的对称中心为原点，注意两个图形中关键线段长度的关系．

空间几何体的表面积和体积是每年高考的热点之一，题型既有选择题、填空题，也有解答题，多与三视图相结合命题，也可能单独命题．

角度一：空间几何体的表面积

[典题2]

(1)(2015·安徽高考)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是(

)

A．1＋3

B．2＋3 C．1＋22

D．22 (2)(2015·新课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝(

)

A．1

B．2 C．4

D．8 [听前试做]

(1)根据三视图还原几何体如图所示，

1其中侧面ABD⊥底面BCD，另两个侧面ABC，ACD为等边三角形，则有S表面积＝2×2×2×1＋2×3×(2)2＝2＋3. 4(2)如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径1为r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2 2

r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2. 答案：(1)B

(2)B

(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．

(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．

角度二：空间几何体的体积

[典题3]

(1)(2015·新课标全国卷Ⅰ《九章算术》)是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(

)

A．14斛

B．22斛

C．36斛

D．66斛

(2)(2015·新课标全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(

)

1111A.

B.

C.

D.

8765