3.2.2 直线的两点式方程名师教学实录

课题

作者及工作单位

基本信息

人教版A版必修1第一章第三节《函数的单调性》

盐池高级中学

韩翀

教材分析

《函数的单调性》人教版A版高中数学必修一1.3.1的内容，该内容包括函数的单调性及函数的最值。函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是前一节内容函数的概念和图像知识的延续，它和后面的函数奇偶性，合称为函数的简单性质，是今后研究指数函数、对数函数、幂函数及其他函数单调性的理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学。

学情分析

初中学习过函数的概念，初步认识到函数是一个刻画某些运动变化数量关系的概念；进入高中以后，有进一步学习了函数的概念，认识的函数是两个数集之间的一种对应。学生还了解函数有三中表示方法，特别是可以借助图象对函数特征加以直观考察。此外，还学习了一次函数、二次函数、反比例函数等简单而具体的函数，了解他们的图像及性质。尤其值得注意的是，学生有利用函数性质惊喜两个数大小比较的经验，学生并不感到困难。困难在于，把具体的、直观的函数单调性的特征抽象出来，用数学的符号语言描述，其中最难理解的是为什么要在区间上“任意”取两个大小不等的两个数，通过讨论交流，让学生尝试，进一步给出函数单调性的定义。

教学目标

1、知识与技能

（1）

是学生理解函数单调性的概念，并能判断一些简单函数在给定区间上的单调性；

（2）

启发学生发现问题和提出问题，培养学生分析问题、认识问题和解决问题的能力；

（3）

通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识；

2、过程与方法

（1）

通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的思想教育；

（2）

探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确。

3、情切感态度与价值观：理性描述生活中的增长、递减现象。

教学重点和难点

教学重点：形成增（减）函数的形式化定义；

教学难点：形成增（减）函数概念的过程中，如何从图像升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表达；用定义证明函数的单调性。

教学过程

教学环节

教师活动

预设学生行为

设计意图

教师给出以下几个函数的图象，观察图象说出它们变化的特征。

创设

情境， 引入

新课

学生回答：第一个图中的函数图通过几何像，自左而右是上直观，引导学生升的，同时图像关关注图象所反于原点对称；第二映出的特征。 个图像，自左而右

有时是上升的、有

时是下降的；第三

个图像自左而右有

时是上升的、有时

是下降的，同时图

像关于y轴对称。

学生回答：函

f(x)x的图象随

通过几何着x的增大图象从问题1：画出函数f(x)x和函左到右是上升的，直观，引导学生关注图象所反函数

数f(x)x2的图象，说说随着x的映出的特征，体f(x)x2

的图象验自变量从小增大，图象的升降情况。

到大变化时，函在y

数值大小在图

合

轴左侧是下降的，象上的表现。

作学在

习，问

y

轴右侧是上升题探究

的。

学生回答：在从一个特殊问题2：观察下面的表格，描述函例子，结合前面区间(,0)随着x的图象特征，从数f(x)x2随x的增大函数值的的增大，函数值减数值变化角度认变化特征。

识函数的单调小，在区间(0,)随…

-3 -2 -1 0 1 2 3 …. 性。

x的增大，函数值

9 4 1 0 1 4 9

增大。

数

问题3：对于一般函数f(x)，如果

这个问题具有较高的思维要求，在区间(0,)上有图象上升，随x可以让学生展开讨的增大，相应的函数值也增大的特论、交流，通过学点，应怎么样刻画呢？

生的活动，逐步认识函数单调性的刻

画方法。同学会说

上升或下降。

给出函数单调性的一般定义：一般的，设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2,当这个内容很难，同学们不能准x1x2,时，都有f(x1)f(x2)，确回答，引导学生学习定义，强调关那么，就说函数f(x)在区间D上键词：对于定义域是增函数；对于定义域I内的某个I内的某个区间D，区间D上的任意两个自变量的值任意，都有。

x1,x2,当x1x2,时，都有从形象到抽象，从具体到一般。先让学生尝试描述一般函数f(x)在区间(0,)上“图象上升”“

随x的增大，想要的f(x)值也增大的”特征。

知识总结

使学生明白函数的单调性是函数的是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有，函数的单调区间是函数定义域的一个子集。

f(x1)f(x2)，那么，就说函数f(x)在区间D上是减函数。

例1、证明函数f(x)2x在R上是增函数。

证明：设任意x1,x2R，且x1x2,

则f(x1)f(x2)2x12x2

=2(x1x2)

由x1x2,得，x1x20

所以，f(x1)f(x2)0

例题讲即f(x1)f(x2)

解，巩固知识

所以函数f(x)2x在R上是增函数。

kV（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。

k分析：按题意，只要证明函数P=V在区间（0，+∞）上是减函数即可

证明同学自己完成，教师指导。

例2、物理学中的玻意耳定律P=教师引学生归纳判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤：一设二差三判断，最后下结论。学生在书写的过程中会出现一些错误的写法，教师要严格按照定义来指导学生进行证明。

通过例题讲解加深学生对定义的理解和知识的应用。

课堂练习，巩

固提高

进一步使学生明白函数的单调性是函数的是函数的局部性质，在整个定义域上不一定具有，函数的单调区间是函数定义域的一个子集。

本节课学习了函数单调性的知识，同学们要切记：单调性是对某个区归纳小间而言的，同时在理解定义的基础结，知上，要掌握证明函数单调性的方法识整合

和步骤，正确进行判断和证明。

板书设计

总结本节所学知识。

函数的单调性

1. 2 3.

学生学习活动评价设计