1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）国家优质课一等奖

空间几何体的表面积与体积复习

【高考考点】

1．以三视图为载体，考查空间几何体的表面积与体积．

2．利用展开图考查空间几何体的侧面积与表面积．

【知识梳理】

1.多面体的表(侧)面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是

所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和. 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

侧面

展开图

圆柱

圆锥

圆台

侧面积公式

S圆柱侧＝

3.柱、锥、台和球的表面积和体积

名称几何体

表面积

柱体(棱柱和圆柱) S圆锥侧＝

S圆台侧＝

体积

V＝

S表面积＝S侧＋2S底

锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底

V＝

台体(棱台和圆台) 球

3.常用结论

S表面积＝S侧＋S上＋S下

S＝

V＝

V＝

（1）正方体的棱长为a，球的半径为R，

①若球为正方体的外接球，则2R＝

③若球与正方体的各棱相切，则2R＝

3a；②若球为正方体的内切球，则2R＝a；

2

a. 2222（2）长方体同一顶点的三条棱长分别为a,b,c，外接球的半径为R，则2Rabc

1

（3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

【考向一】

几何体的表面积

【例1】某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是

(

)．

A．

28＋65

B．30＋65

58＋125

D．60＋125 C．分析：

根据几何体的三视图画出其直观图，利用直观图的图形特征求其表面积．

解析

由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，BD＝5，BE＝2，

ED＝3，AE＝4.∴AD＝5. 又CD⊥BD，CD⊥AE，

【训练1】

一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是（

）

A．372

B．360

C．292

D．280 解析：

由三视图可知该几何体是由下面一个长方体，上面一个长方体组合而成的几何体．∵下面长方体的表面积为8×10×2＋2×8×2＋10×2×2＝232，上面长方体的表面积为8×6×2＋2×8×2＋2×6×2＝152，又∵长方体表面积重叠一部分，∴几何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.

【考向二】

几何体的体积

例2：如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别为线段AA1，B1C上的一点，则三棱锥D1EDF的体积为________．

分析：利用等体积转化法求解．

方法提点

(1)若所给定的几何体是可直接用

2

公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解；

(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．

(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

【训练2】

如图，某几何体的正视图、侧视图和俯视图分别是等边三角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为

(

)．

43

B．4

A．

C．

23

D．2 1

解析

由三视图可知此几何体为四棱锥，高为3.所以V＝3

11Sh

＝3×2×23×2×3＝23.

【考向三】

与球有关的组合体

例3：某几何体的三视图如下图所示(图中长度单位：cm)，其中正视图与侧视图相同，则该几何体的体积为______ cm

[审题视点] 由正视图和侧视图知几何体分三部分：柱、台、球，再由俯视图确定几何体由圆柱、圆台、半球组成．

解析

由三视图可知，该几何体是由圆柱、圆台、半球组合

而成，易知圆柱的底面半径为1，高为2，圆台的上、下底

半径分别为1、4，高为4，半球的半径为4.

∴V圆柱＝π×12×2＝2π，

π

V圆台＝×(12＋42＋1×4)×4＝28π，

3

314128

V半球＝×π×43＝π.

233

128218

∴几何体的体积为V＝2π＋28π＋π＝π(cm3)．

33

巧妙求解空间几何体的表面积和体积，通过近年的高考试题分析，主要考查已知三视图，还原几何体，求几何体的表面积和体积．题型为选择题或填空题，题目难度中等．

某几何体的三视图如图所示，它的体积为

(

)．

A．12π

B．45π

C．57π

D．81π

第1步

还原几何体，由三视图可知，该几何体是一个圆柱和圆锥的组合体．

3

第2步

利用基本公式求解．

[优美解法] 由三视图可知，该几何体是由底面直径为6，高为

5的圆柱与底面直径为6，母线长为5的圆锥组成的组合体，

因此，体积为V＝π×32×5＋1×π×32×52－32＝57π.

3

[反思]

(1)对组合体的三视图还原为几何体的问题，要从接触面突破；

(2)对组合体的表面积、体积可以分割计算；

(3)在三视图向几何体的转化过程中，有关数据要正确对应．

巩固训练

1. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积

分别为______

__，________

.

2．某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是________．

3．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，

则该圆锥的体积为_______

_．

4