1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）优秀教学实录

034空间几何体的表面积与体积

辉县市第二高级中学

高三数学组

一、考纲解读

1、通过实际操作熟练画出空间几何体，认识其结构。

2、通过实例准确应用球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；

3、热点提示

（1）通过考查几何体的表面积和体积，借以考查空间想象能力和计算能力；

（2）多与三视图、简单组合体相联系；

（3）以选择、填空的形式考查，属容易题。

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1、几何体的表面积，除球以外，都是利用________求得的。利用了空间问题平面化的思想。把一个平面图形折叠成一个几何体，再研究其性质，是考查空间想象能力的常用方法，所以几何体的展开与折叠是高考的一个热点；

2、几何体的展开图

（1）多面体的展开图；

①直棱柱的侧面展开图是______；

②正棱锥的侧面展开图是由一些_____的________拼成的，底面是________；

③正棱台的侧面展开图是由一些全等的_________拼成的，底面是正多边形。

（2）旋转体的展开图

①圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长是_________，宽是圆柱的__________；

②圆锥的侧面展开图是______，扇形的半径是圆锥的________，弧长是圆锥的__________；

③圆台的侧面展开图是____，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长。

二、知识梳理（请对应画图理解）

1．棱柱的侧面积等于它的

．表面积等于

．

底面积为S，高为h的棱柱的体积等于

____________. 2．棱锥的侧面积等于它的

．表面积等于

．

底面积为S，高为h的棱锥的体积等于

____________. 3．棱台的侧面积等于它的

．表面积等于

．

上、下底面积分别为S、S′，高为h的棱台的体积V＝

.

4．圆柱的底面半径为r，母线长为l的圆柱的侧面积为

________；

表面积为

；体积为

. 5．圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h的圆锥，r、l、h间的关系为

_______.侧面积为

_________.表面积为

___.体积为

______.

6．圆台的上、下底半径分别为r、r′，高为h，母线长为l的圆台，其中r、r′、h、l的关系为：

__；侧面积为

________；表面积为

；体积为

.

1

7．球的半径为R的球的表面积为4πR2；体积为

________. 注：圆锥中母线长l与底面半径r和展开图扇形中半径和弧长间的关系及符号容易混淆。

三、典例精析

考点一、几何体的表面积

例1、圆x2＋(y＋1)2＝3绕直线kx－y－1＝0旋转一周所得的几何体的体积为

(

) A．36π

B．12π

C．43π

D．4π

变式拓展：如图，在四面体ABCD中，三组对棱棱长分别相等，且依次为34，41，5，则此四面体ABCD的外接球的半径R为

(

) A．52

B．5

C.52

2

D．4

考点二、几何体的侧面展开图

例2

如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝2，AA1＝2，∠ABC＝90°，E、F分别为AA1、B1C1的中点，沿棱柱的表面从E点到F点的最短路径的长度为d，求d的最小值．

变式拓展：有一根长为3πcm,底面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？

2

考点三、几何体的体积

例3

如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成三棱锥的外接球的体积．

变式拓展：（2010陕西文数）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F分别是PB,PC的中点. (Ⅰ)证明：EF∥平面PAD；

(Ⅱ)求三棱锥E—ABC的体积V.

考点四、组合体问题

例4（2010浙江理数）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，

则此几何体的体积是___________cm3.

3

变式拓展：（1）棱长为2的正四面体的四个顶点

都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面

如图所示，求图中三角形（正四面体的截面）

的面积. 思路解析：截面过正四面体的两顶点及球心，则必过对棱的中点。

注：解决这类问题的关键是准确分析出组合体的结构特征，发挥自己的空间想象能力，把立体图和截面图对照分析，找出几何体中的数量关系。与球有关的截面问题为了增加图形的直观性，解题时常常画一个截面圆起衬托作用。

（2）在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触,经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是(

)

四、学后反思：

1．多面体的表面积是_______的面积之___．圆柱、圆锥、圆台的侧面是______，计算侧面积时需要将这个曲面展为__________计算，而表面积是_______与__________的面积之和．

2．组合体的表面积应注意重合部分的处理．

3．三棱锥体积的计算与等体积法

对于三棱锥的体积计算时，三棱锥的顶点和底面是______的，可以变换____和_____，使体积容易计算．利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些求点到平面的距离问题．

4．求空间几何体的体积除利用公式法外，还常用分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算问题的常用方法．

五、课后提升：（

）

4