习题3.2教案设计（一等奖）

3.2《立体几何中的向量方法》

一、教学目标：

1、掌握用向量法解决立体几何中的相关问题的方法. 2、能用向量方法解决平行和垂直问题. 3、能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题. 4、能用向量方法解决空间的距离问题.

二、教学重点：

用向量法求线线角线面角及二面角，用向量法解决距离问题。

三、教学难点

建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，用向量法解决立体几何的角度及距离问题。

四、教学过程：

（一）知识梳理《设计意图》通过知识梳理对本节知识进行

复习、巩固。

1、直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法

设直线l，m的方向向量分别为a，b.平面α、β的法向量分别为μ，v (1)线线平行

：

l∥

m

⇔a ∥

b ⇔a＝λb (2)线线垂直

：

l⊥

m ⇔a⊥b ⇔a·b=0

(3)线面平行 : l∥

a

⇔a⊥μ⇔a·μ＝0 (4)线面垂直 : l⊥

a

⇔a∥μ⇔a＝kμ (5)面面平行 : α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv

(6)面面垂直 : α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0 2、直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算

设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2).平面α、β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同). (1)线线夹角

π设l，m的夹角为θ(0≤θ≤)，则

2|a·b||a1a2＋b1b2＋c1c2|cos θ＝＝2. 2222|a|·|b|a1＋b2＋ca＋b＋c11222(2)线面夹角

π设直线l与平面α的夹角为θ(0≤θ≤) 2|a·μ| 则sin θ＝＝︱cos〈a，μ〉︱

|a||μ|(3)面面夹角

设平面α、β的夹角为θ(0≤θ<π)，

|μ·v|则|cos θ|＝＝|cos〈μ，v〉|. |μ||v|3、求空间距离

直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离，点P到

平面α的距离：d＝|PM·n|(其中n为α的法向量，M为α内任一点). |n|→二、典例练习

例1：在正方体ABCD-A′B′C′D′中，E、F分别为CC′和BD的中点，求证：

（1、）BD//B′D′. (2、)B′D′//面BDC. (3、)平面AB′D′//平面C′BD. (4、)A′F⊥BE. (5、)A′F⊥面BDE. (6、)面A′AF⊥面BDE 《设计意图》通过本题让学生掌握用向量法解决线与面的平行与垂直问题,但平行与垂直问题有时用向量法会让问题更复杂,通过本题让学生能合理的选择适当的方法解决问题.

例2：

如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥面ABCD，AB⊥BC，AB⊥1AD，且PA＝AB＝BC＝

AD＝1. 2(1)求PB与CD所成的角. (2)求直线PD与面PAC所成的角的余弦值. (3)求二面角A-PB-C的余弦值. (4)求点D到平面PBC的距离. 《设计意图》通过本题了解学生用向量法求空间角及距离的方法的掌握情况

三、体验高考

(2011·北京)如图，在四棱锥

P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面

ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°. (1)求证：BD⊥平面PAC；

(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；

(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长. 《设计意图》通过本题使学生了解高考题型

五、课堂小结：

1.通过本节课的学习进一步巩固用向量法解决线线、线面、面面之间的平行与垂直问题。

2.熟练的用向量法解决异面直线的夹角，线面角、二面角及空间中的距离问题。

3.在具体问题中要合理的选择好向量法和几何法，以免简单问题复杂化。

六、课外作业《课后思考》

如图，空间四边形OABC各边以及AC，BO的长都是1，点D，E分别是边OA，BC

O

D

A

B

图2

C

E

的中点，连结DE，计算DE的长。