3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示优秀教学设计

§3.1.4空间向量运算的坐标表示教学设计

辉县市第二高级中学：王德飞

【学情分析】：

平面向量运算有坐标表示，空间向量运算也有坐标表示，在上一节中，单位正交分解就能够完成向量坐标由平面直角坐标系向空间直角坐标系坐标的转化。现在，通过本节的学习，我们可以将向量的定性公式定量化，在解决立体几何问题的过程中，可以大大简化问题的难度。

【教学目标】：

1、知识与技能：（1）类比平面向量的运算的坐标表示推导空间向量运算的坐标表示；

（2）熟练运用空间向量运算的坐标表示，判定两个向量垂直、平行；

（3）熟练运用空间向量的夹角公式和模厂公式，解决简单的立体几何问题. 2、过程与方法：由平面向量类比空间向量，体会由特殊到一般的过程，熟练运用空间向量运算的坐标表示解答立体几何的简单问题

3、情感态度与价值观：通过教师引导，学生探究，发展学生的空间想象能力和探究能力；经过强化训练，可以提高学生的数学思维能力和运算能力。

【教学重点】：

空间向量的坐标运算，空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，平行和垂直的判定条件等。

【教学难点】：

利用空间向量运算的坐标表示知识解决简单的立体几何问题． 教学环节

一．知识链接

教师活动

学生活动

设计意图

以平面向量为先导，为学生类比空间向量做准备

5

分钟

1.思考引入（计算空间几何体两点间的距离的方法）

讨论交流2.复习空间向量坐标表示与平面向量的坐标运算

并展示学（课件展示）

案

1．空间向量直角坐标运算律（讲解并课件展示）

z（1）若a(a1,a2,a3)，A(a1,a2,a3)b(b1,b2,b3)，则kixOjB(b1,b2,b3)y

二．新知探究

ab(a1b1,a2b2,a3b3)，

ab(a1b1,a2b2,a3b3)，

a(a1,a2,a3)(R)，

（2）若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则类比学习，自主填写，完成学案新知探究部分，对照课件巩固记忆

注重类比学习，举一反5三，在平面向分量中有坐标钟

运算，空间向量中也有，运

AB(x2x1,y2y1,z2z1)．

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

1

2．数量积：即

ab=a1b1a2b2a3b3

3．夹角：cosab．

a1b1a2b2a3b3ab222222|a||b|a1a2a3b1b2b34．模长公式：若a(a1,a2,a3)，

则|a|二．新知探究

aaa1a2a3．

2225.线段中点的坐标公式：

在空间直角坐标系中，已知点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则线段AB的中点坐标为:

.

6．平行与垂直：

a//ba1b1,a2b2,a3b3(R)

abab0a1b1a2b2a3b30

7．距离公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则|AB|AB(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2，

2类比学习，自主填写，完成学案新知探究部分，对照课件巩固记忆

算规律和结论的本质是一样的。

或dA,B(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2．

探究一：空间向量的坐标运算（投影展示并小结）

小试身手

1、已知a(2,1,2),b(0,1,4)，求：

⑴a＋b= ；⑵a－b= ；

将空间向量的运算与向量的坐标表15示结合起来，分不仅可以解钟

决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单。

b= ；⑶2a= ；⑷a·⑸2a·（-b）= ；⑹（a＋b）·（a-b）= . 2、已知a(2,1,3),b(4,2,x),若ab，则自主探x= ；若a∥b，则x= . 究，小组3、已知A(1,2,7),B(3,10,9),则线段AB的中点合作交流，小组M的坐标为_____________，AB= . 展示评判探究二：利用空间向量求夹角

打分

（投影展示并小结）

例1．如图，在正方体F1E1B1C1三．合作探究

ABCDA1B1C1D1中，E1，F1分A1D1别是A1B1，C1D1的一个四等分DACB

2

点，求BE1与DF1所成的角的余弦值。

解：不妨设正方体的棱长为1，分别以DA，DC，DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，

则B(1,1,0)，E1(1,3,1)，D(0,0,0)，4F1(0,1,1) 411,1)，DF1(0,,1)

44所以BE1(0,|BE1|151717BEDF|，|DF，

111164415，

1715

17所以cosBE1,DF1因此，BE1与DF1所成角的余弦值是变式：已知三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC= AB，N为AB上一点，AB=4AN,且M,S分别为PB,BC的中点.求：CM与NS的夹角的余弦值

自主探 究，小组合作交流，小组例2．如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分展示评判打分

别是BB1，D1B1的中点，求证：EFDA1

探究三：利用数量积证明垂直

（投影展示并小结）

证明：不妨设正方体的棱长为1，分别以DA，DC，A1D1FB1EC1学习注意触类旁通，举一反三，引进向量的坐标运算式把定性的向量定量化的有效办法。这样可以把向量问题转化为代数问

DD1为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz，

则E(1,1,AOCB111)，F(,,1)所以222111EF(,,)，又A1(1,0,1)，D(0,0,0)，2223

所以DA)，

1(1,0,1所以EFDA10，

因此EFDA1，即EFDA1

变式2 3.在正方体ABCDA1B1C1D1中E,F分别是BB1,CD的中点, 求证D1F平面ADE (2010全国Ⅰ)直三棱柱ABCA1B1C1中，若四．走进高考

BAC90，ABACAA1，则异面直线

BA1与AC1所成的角等于（ ）

A．30°

B.45°C.60°

D.90°

自主探究，自我展示

解答高考题目，展示自我能力。

5分钟

1. 知识方面：

空间向量的运算（加法、减法、数乘、数量积）长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；两向量共线与垂直的充要条件等

2. 技能方面：

解决立体几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐标，然后再代入公式进行计算. 五．小结

3. 学习过程

形成完整的知识体系

2分钟

1.

已知向量a=(1,1,0),

b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b互相垂六．当堂检测

直,则求k的值.

2.如图，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E,F,G分别是DD1,BD,BB1的中点. ⑴

求证：EFCF；

⑵

求EF与CG所成角的余弦；

⑶

求CE的长.

及时检测，评价效果

8分钟

七.作业

课本98页5,9,10 3.1.5空间向量运算的坐标表示

八.板书

1.空间向量坐标运算 探究一 （小结） 2.空间向量平行与垂直 探究二 （小结）

3.空间向量的夹角与模长 探究三 （小结）

课后巩固

4