3.1.1 空间向量及其加减运算优秀获奖教案

【课

题】空间向量及其运算（1）

——空间向量及其加减与数乘运算

【教学目标】

（1）理解空间向量概念，掌握空间向量的几何表示法和字母表示法。

（2）会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律。

（3）会将若干个向量的和合成为一个向量，也会将一个向量写成若干个指定向量和的形式。

【教学重点】空间向量的运算和运算律

【教学难点】应用向量解决立体几何问题

【教学过程】

一、

复习引入

1、向量的概念

(1)向量：具有大小和方向的量叫做向量。

(2)向量的表示：AB，a；

(3)向量的长度：即向量的大小，记作｜a｜。

(4)特殊的向量：

零向量a＝0｜a｜＝0。

单位向量a0｜a0｜＝1。

(5)相等的向量：大小相等，方向相同

(6)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量。记作a∥b。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

2、平面向量的加法、减法和数乘运算

向量的加法：平行四边形法则或三角形法则；abab

向量的减法：三角形法则；

向量的数乘：

二、

讲解新课

（一）空间向量的概念

1、空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：⑴空间的平移就是一个向量。

aDAA'D'CBB'C'

⑵平面向量仅限于研究同一平面内的平移，空间向量研究的是空间的平移

2、空间向量的表示：用有向线段表示。

3、空间向量的相等：同向等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

4、空间的两个向量都是共面向量：空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示

。

baabaαλa

注：（1）由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以凡涉及空间两个向量的问题，平面向量中的有关结论仍适用于它们（到空间向量的分解定理和坐标表示及坐标运算时才会显现它们的区别）

（2）由于点O是空间任意一点，所以a、b确定的平面不是一个，而是一个互相平行的

的平面的集合，但研究解决问题时，一般只要在其中一个平面内考虑即可。

（3）注意与异面直线的区别。

向量不能比较大小：因为每个向量都是由长度和方向两个因素构成，其中长度虽可比较大小，但方向无法比较大小，所以向量无法比较大小。

（二）空间向量的运算

1、定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下（如上图）

OBOAABab

BAOAOBab

Oca+b+cb+cba+baOPa(R)

2、运算律：⑴加法交换律：abba

⑵加法结合律：(ab)ca(bc)

⑶数乘分配律：(ab)ab

注：（1）首尾相接的若干个向量（如图中的a、b、c）之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量（如图中的a+b+c）

因此求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量。

（2）首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0。

（3）两个向量相加的平行四边形法则在空间仍成立，因此求始点相同的两个向量之和时，可考虑用平行四边形法则。

（三）平行六面体：

平行四边形ABCD平移向量a到ABCD的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD－ABCD。它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。

D'A'B'C'aDABC

三、

例题讲解

【例1】

已知平行六面体ABCD－ABCD化简下列向量表达式，标出化简结果的向量：

⑴ABBC； ⑵ABADAA；

11⑶ABADCC；

⑷(ABADAA)。

23解：如图：

D'A'DA ⑴ABBCAC； ⑵

ABADAA=ACAAAC；

1⑶设M是线段CC的中点，则ABADCCACCMAM；

2C'B'MGCB

11⑷设G是线段AC的三等份点，则(ABADAA)ACAG。

33向量AC,AC,AM,AG如图所示。

注：始点相同的三个不共面的向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所示的向量，这是平面向量的平行四边形法则在空间的推广。

【例2】

在平行六面体ABCDABCD中，求证：ACABAD2AC

证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形，

∴ACABAD；

ABABAA

ABA'DD'B'C'CADADAA

∴ACABAD(ABAD)(ABAA)(ADAA)

2(ABADAA)

又由于AACC,ADBC

∴ABADAAABBCCCACCCAC

∴ACABAD2AC

【例3】

设四面体ABCD的三条棱ABb,ACc,ADd，M为BC的中点，Q为BCD的重心，试用b,c,d表示向量DM,AQ。

解：因为M为BC的中点，所以

DM12(DBDC)12(ABAD)(ACAD)

12(bd)(cd)12(bc2d)AQADDQd23DMd13(bc2d)1

3(bcd)四、

课堂练习

五、

小结

六、

课外练习

ABDMQC