1.2.1 充分条件与必要条件10分钟试讲教案

§1.2

充要条件、全称量词与存在量词

最新考纲

1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.2.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．

1．充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p是q的必要不充分条件

p是q的充要条件

p是q的既不充分也不必要条件

2.全称量词和存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．

3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定

命题名称

全称命题

语言表示

对M中任意一个x，有p(x)成立

存在M中的一个x0，使p(x0)成立

符号表示

∀x∈M，p(x)

命题的否定

∃x0∈M，綈p(x0) p⇒q且q⇏p

p⇏q且q⇒p

p⇔q

p⇏q且q⇏p

特称命题

概念方法微思考

∃x0∈M，p(x0)

∀x∈M，綈p(x) 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．

提示

若AB，则p是q的充分不必要条件；

若A⊇B，则p是q的必要条件；

若AB，则p是q的必要不充分条件；

若A＝B，则p是q的充要条件；

若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

题组一

思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(

√

) (2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个等价命题．(

√

) (3)全称命题一定含有全称量词．(

×

) (4)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，綈p(x)的真假性相反．(

√

) 题组二

教材改编

2．命题“正方形都是矩形”的否定是___________________________．

答案

存在一个正方形，这个正方形不是矩形

3．“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的______条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案

充分不必要

题组三

易错自纠

4．(2018·郑州质检)命题“∃x0∈R，x20－x0－1>0”的否定是(

) A．∀x∈R，x2－x－1≤0

2C．∃x0∈R，x0－x0－1≤0

B．∀x∈R，x2－x－1>0 D．∃x0∈R，x20－x0－1≥0 答案

A 5．已知p：x>a是q：2

答案

(－∞，2] 解析

由已知，可得{x|2a}，

∴a≤2. π0，，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

6．若“∀x∈4答案

1 π0，上是增函数，

解析

∵函数y＝tan x在4π∴ymax＝tan ＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1. 4∴m的最小值为1.

题型一

充分、必要条件的判定

例1

(1)已知α，β均为第一象限角，那么“α>β”是“sin α>sin β”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

D 7ππ解析

取α＝，β＝，α>β成立，而sin α＝sin β，sin α>sin β不成立．

33∴充分性不成立；

π13π取α＝，β＝，sin α>sin β，但α<β，必要性不成立．

36故“α>β”是“sin α>sin β”的既不充分也不必要条件．

(2)已知条件p：x>1或x<－3，条件q：5x－6>x2，则q是p的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A 解析

由5x－6>x2，得2

所以q是p的充分不必要条件，故选A. 思维升华

充分条件、必要条件的三种判定方法

(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．

(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．

跟踪训练1

(1)(2018·福建省莆田一中月考)王安石在《游褒禅山记》中写道“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”，请问“有志”是到达“奇伟、瑰怪，非常之观”的(

) A．充要条件

C．充分不必要条件

答案

D 解析

非有志者不能至，是必要条件；但“有志”也不一定“能至”，不是充分条件．

(2)(2018·济南模拟)若集合A＝{x|1b，b∈R}，则A⊆B的一个充分不必要条件是(

) A．b≥2

B．1

D．必要不充分条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

C．b≤1

答案

D D．b<1 解析

∵A＝{x|1b，b∈R}，

∴A⊆B的充要条件是b≤1，∴b<1是A⊆B的充分不必要条件，故选D.

题型二

含有一个量词的命题

命题点1

全称命题、特称命题的真假

例2

(1)(2018·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是(

) A．∀n∈R，n2≥n

B．∃n0∈R，∀m∈R，m·n0＝m

C．∀n∈R，∃m0∈R，m20

D．∀n∈R，n2

答案

B 1解析

对于选项A，令n＝，即可验证其不正确；对于选项C，D，可令n＝－1加以验证，2均不正确，故选B. (2)下列命题中的假命题是(

) A．∀x∈R,2x1>0

－B．∀x∈N*，(x－1)2>0 D．∃x0∈R，tan x0＝2 C．∃x0∈R，lg x0<1

答案

B 解析

当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B. 命题点2

含一个量词的命题的否定

例3

(1)已知命题p：“∃x0∈R，e0－x0－1≤0”，则綈p为(

) A．∃x0∈R，e0－x0－1≥0 B．∃x0∈R，e0－x0－1>0 C．∀x∈R，ex－x－1>0 D．∀x∈R，ex－x－1≥0 答案

C 解析

根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C. (2)(2018·福州质检)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则綈p是(

) A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0 xxx

B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0 C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0 D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0 答案

C 解析

已知全称命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)≥0，则綈p：∃x1，x2∈R，

[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0，故选C. 思维升华

(1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立．

(2)对全(特)称命题进行否定的方法

①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；

②对原命题的结论进行否定．

跟踪训练2

(1)(2018·东北三校联考)下列命题中是假命题的是(

) A．∃x0∈R，log2x0＝0

C．∀x∈R，x2>0

答案

C 解析

因为log21＝0，cos 0＝1，所以选项A，B均为真命题，02＝0，选项C为假命题，2x>0，选项D为真命题，故选C. (2)已知命题p：∃x0∈R，log2(30＋1)≤0，则(

) A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0 B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0 C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0 D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0 答案

B 解析

因为3x>0，所以3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，所以p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B. 题型三

充分、必要条件的应用

xB．∃x0∈R，cos x0＝1 D．∀x∈R,2x>0 例4 已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．

解

由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}．

由x∈P是x∈S的必要条件，知S⊆P.

1－m≤1＋m，则1－m≥－2，

∴0≤m≤3.1＋m≤10，

∴当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，

即所求m的取值范围是[0,3]．

引申探究

若本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

解

若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

1－m＝－2，∴方程组无解，

1＋m＝10，

即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．

思维升华

充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：

(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．

(2)要注意区间端点值的检验．

跟踪训练3

(1)若“x>2m2－3”是“－1

答案

[－1,1] 解析

依题意，可得(－1,4)(2m2－3，＋∞)，

所以2m2－3≤－1，解得－1≤m≤1. (2)设n∈N*，则一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________. 答案

3或4 解析

由Δ＝16－4n≥0，得n≤4，

又n∈N*，则n＝1,2,3,4. 当n＝1,2时，方程没有整数根；

当n＝3时，方程有整数根1,3，

当n＝4时，方程有整数根2.综上可知，n＝3或4. 题型四

命题中参数的取值范围

1x例5 已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝2－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．

1答案

4，＋∞

解析

当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，

1g(x)min＝g(2)＝－m，由f(x)min≥g(x)min，

411得0≥－m，所以m≥. 44引申探究

本例中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．

1，＋∞

答案

21解析

当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－m，

211由f(x)min≥g(x)max，得0≥－m，∴m≥. 22思维升华

对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．

15跟踪训练4 (1)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围2是______________．

5，＋∞

答案

6解析

由“∀x∈R，x2－5x＋15a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式215x2－5x＋a>0对任意实数x恒成立．

215设f(x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．

2155故Δ＝25－4×a<0，解得a>，

265，＋∞. 即实数a的取值范围为61(2)已知c>0，且c≠1，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈2，2时，函数f(x)11＝x＋>恒成立．如果p和q有且只有一个是真命题，则c的取值范围为________________．

xc10，∪(1，＋∞) 答案

2解析

由命题p为真知，0

15由命题q为真知，2≤x＋≤，

x21111要使x＋>恒成立，需<2，即c>，

xcc2

1当p真q假时，c的取值范围是0

2当p假q真时，c的取值范围是c>1. 10，∪(1，＋∞)．

综上可知，c的取值范围是2

利用充要条件求参数范围

逻辑推理是从事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养．逻辑推理的主要形式是演绎推理，它是得到数学结论、证明数学命题的主要方式，也是数学交流、表达的基本思维品质．

x－1例

已知p：1－≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，q是p的必要不充分条件，则实数3m的取值范围为__________．

答案

[9，＋∞) 解析

∵q是p的必要不充分条件．

即p是q的充分不必要条件，

由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，

得1－m≤x≤1＋m(m>0)．

∴q对应的集合为{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．

设M＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}．

x－1又由1－≤2，得－2≤x≤10，

3∴p对应的集合为{x|－2≤x≤10}．

设N＝{x|－2≤x≤10}．

由p是q的充分不必要条件知，NM，

m>0，∴1－m<－2，1＋m≥10

m>0，或1－m≤－2，1＋m>10，

解得m≥9. ∴实数m的取值范围为[9，＋∞)．

素养提升

例题中得到实数m的范围的过程就是利用已知条件进行推理论证的过程，数学表达严谨清晰．

1．以下四个命题中既是特称命题又是真命题的是(

) A．锐角三角形有一个内角是钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数

1D．存在一个负数x，>2 x答案

B 解析

A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C是假命题；11D中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．

xx2．命题“∀x∈R，∃n0∈N*，使得n0≤x2”的否定形式是(

) A．∀x∈R，∃n0∈N*，使得n0>x2

B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n>x2

C．∃x0∈R，∃n0∈N*，使得n0>x20

D．∃x0∈R，∀n∈N*，使得n>x20

答案

D 解析

∀改写为∃，∃改写为∀，n≤x2的否定是n>x2，则该命题的否定形式为“∃x0∈R，2∀n∈N*，使得n>x0”．故选D. 3．(2018·西安模拟)设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a

) A．充分不必要条件

C．必要不充分条件

答案

A 解析

由(a－b)a2<0可知a2≠0，则一定有a－b<0，即a8”的(

) A．充分不必要条件

C．充要条件

答案

A 353解析

由log2(2x－3)<1⇒0<2x－3<2⇒8⇒2x>3⇒x>，所以“log2(2x－3)<1”是222“4x>8”的充分不必要条件，故选A. 5．(2018·天津河西区模拟)设a∈R，则“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0和直线3x＋(a－1)y＝a－7平行”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

B．充要条件

D．既不充分也不必要条件

C．充要条件

答案

C D．既不充分也不必要条件

aa－1－6＝0，解析

若直线ax＋2y＋3a＝0和直线3x＋(a－1)y＝a－7平行，则即aa7－a－9a≠0，

＝3，即“a＝3”是“直线ax＋2y＋3a＝0和直线3x＋(a－1)y＝a－7平行”的充要条件．

6．下列命题中，真命题是(

) A．∃x0∈R，e0≤0 B．∀x∈R,2x>x2

aC．a＋b＝0的充要条件是＝－1 bD．“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件

答案

D 解析

因为y＝ex>0，x∈R恒成立，所以A不正确；

因为当x＝－5时，25<(－5)2，所以B不正确；

－xa“＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件，C不正确；

b当a>1，b>1时，显然ab>1，D正确．

7．已知p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是(

) A．[2，＋∞)

C．[1，＋∞)

答案

B 解析

由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B. 12，2，使得2x08．若∃x0∈－λx0＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是(

) 2A．(－∞，22]

922，

C.2答案

A 11，2，2x2－λx＋，2，使得2x2解析

因为∃x0∈－λx＋1<0成立是假命题，所以∀x∈0022111，2，λ≤2x＋恒成立是真命题，令f(x)＝2x＋，则f′(x)1≥0恒成立是真命题，即∀x∈2xx11222＝2－2，当x∈，时，f′(x)<0，当x∈，2时，f′(x)>0，所以f(x)≥f ＝22，x2222则λ≤22. B．(22，3] D．{3} B．(2，＋∞) D．(－∞，－1]

9．已知f(x)是R上的奇函数，则“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的__________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案

充分不必要

解析

∵函数f(x)是奇函数，∴若x1＋x2＝0，则x1＝－x2，则f(x1)＝f(－x2)＝－f(x2)，即f(x1)＋f(x2)＝0成立，即充分性成立；若f(x)＝0，满足f(x)是奇函数，当x1＝x2＝2时，满足f(x1)＝f(x2)＝0，此时满足f(x1)＋f(x2)＝0，但x1＋x2＝4≠0，即必要性不成立．故“x1＋x2＝0”是“f(x1)＋f(x2)＝0”的充分不必要条件．

10．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则k的取值范围是________________．

答案

(－4,0] 解析

“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，当k＝0时，则有－1<0；当k≠0时，则有k<0且Δ＝(－k)2－4×k×(－1)＝k2＋4k<0，解得－4

综上所述，实数k的取值范围是(－4,0]．

111．已知命题“∃x0∈R，使2x20＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是2________．

答案

(－1,3) 1解析

原命题的否定为∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a－1)221－4×2×<0，则－2

分不必要条件是x∈A，则实数m的取值范围是____________．

答案

(2，＋∞) 1x<2<8，x∈R＝{x|－1

因为A＝xx∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，

2

所以AB，所以m＋1>3，即m>2.

1113．已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β<”是“sin(α＋β)<”的______________条件．(选33填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案

充分不必要

1解析

因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β

111不满足sin α＋sin β<，故必要性不成立．所以“sin α＋sin β<”是“sin(α＋β)<”的充分不333必要条件．

1114．(2018·山东济南一中月考)已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是

14－，

答案

2311解析

解不等式|x－m|<1，得m－1

14且等号不同时成立，解得－≤m≤. 23

1415．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈2，1，∀x2∈[2,3]，f(x1)≥g(x2)恒成立，x则实数a的取值范围是______________．

答案

(－∞，－3] 1，1≥g(x)max(x∈[2,3])，因为f(x)在1，1上为减函数，g(x)解析

由题意知f(x)minx∈22在[2,3]上为增函数，所以f(x)min＝f(1)＝5，g(x)max＝g(3)＝8＋a，所以5≥8＋a，即a≤－3. 3y＝x2－x＋1，0≤x≤2，B＝{x|x＋m2≥2}，p：x∈A，q：x∈B，p16．已知集合A＝y2

是q的充分条件，则实数m的取值范围是________________．

55－∞，－∪，＋∞

答案

44337x－2＋，0≤x≤2，

解析

由y＝x2－x＋1＝416277，2. 得≤y≤2，∴A＝1616又由题意知A⊆B，

725∴2－m2≤，∴m2≥. 161655∴m≥或m≤－. 44