习题3.2优秀课堂实录

立体几何中的向量方法

教学设计

花都区邝维煜纪念中学

数学科组

李振华

一、课题：立体几何中的向量方法

二、学情分析

该班学生数学基础较差：基本知识点掌握不牢固；基本计算能力不过关。坐标、向量的运算会呈现很多问题，通过回顾和基本运算加深题型的巩固，

三、学习目标：

1、会用向量法求空间的三种角，能够说出向量法求线面角与二面角平面角的公式区别；

2、会准确求出点的坐标，直线的方向向量和平面的法向量，会判断几何体中的未知量并会准确计算。（难点）

四、教学过程

（一）、问题自查

1．两异面直线夹角θ的取值范围是__________________________．

向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有cos θ＝______＝_____ 2．直线和平面夹角θ的取值范围是__________________________。

向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为θ，a与u的夹角为φ，则有sin θ＝__________或cos θ＝sin φ. 3．点面距公式是____________．

4．二面角的取值范围是____________．

二面角的向量求法：

①若AB、CD分别是二面角α—l—β的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量与的夹角(如图①)．

②设n1，n2分别是二面角α—l—β的两个面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)．

（二）基本题型剖析.

(含字母的方程组求法向量)

1、【2012高考真题辽宁理18】(本小题满分12分) A1///

如图，直三棱柱ABCABC，BAC90，

C1ABACAA/,点M，N分别为A/B和B/C/的中点。

//

(Ⅰ)证明：MN∥平面AACC;(略)

/

(Ⅱ)若二面角AMNC为直二面角，求的值。

2、（

2012年江西理20）(本题满分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=AC=AA1=5，BC=4，在A1在底面ABC的投影

1 B1MNBAC

是线段BC的中点O。

（1）证明：在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；

（2）求直线A1B1与平面BB1C1C所成角的正弦值。

A

B

AOCC

3、（2013年重庆19）如题（19）图，四棱锥PABCD中，

BPA底面ABCD,BCCD2,AC4,ACBACD, 3F为PC的中点，AFPB。

（1）略

（2）求二面角BAFD的正弦值。

（选题意图：会判断由已知条件“AFPB”求几何体中的PA的长度，从而求点F的坐标）

（二）变式训练

（2015湖北）19．（本小题满分12分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．

如图，在阳马PABCD中，侧棱PD底面ABCD，且PDCD，过棱PC的中点E，作EFPB交PB于点F，连接DE,DF,BD,BE. （Ⅰ）证明：PB平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由；

πDC（Ⅱ）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，求的值．

3BC（1、四面体DBEF是否为鳖臑，只与侧棱PD底面ABCD，且PDCD，棱PC的中点E，EFPB交PB于点F有关，与长方形的边长无关）

四、总结归纳：

1、用向量方法求空间角的程序：

2、建立坐标系后，若点不是落在坐标轴或坐标系，如何正确求出坐标或向量？

2

3、题目的条件一般含有哪些情况，说明几何体的中的某些量缺失如线段的长度可求？

六、课后练习

如图（19），四棱锥PABCD，底面是以O为中心的菱形，PPO底面ABCD，

3，M为BC上一1BM,MPAP2点，且.

（1）求PO的长；

（2）求二面角APMC的正弦值。

AB2,BADDACOMB

七、教学反思

归纳小结环节中，原来的设计意图是让小组之间进行合作总结，并且归纳出来，但在前面环节中所花时间较多，导致只是由教师进行小结，没有达到对学生培养归纳提升能力的目标。

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