小结教案和学案内容

轨迹方程的求法

澄海中学

陈捷

教材分析：

求符合某种条件的动点的轨迹方程历来都是高考的一个重要考点，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系，这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了学生推理运算能力和综合运用数学知识解决问题的能力。其显著特点是用代数方法解决几何问题，相对抽象，因此这类问题是学生学好解析几何的一大难点。

教学目标：

1、知识与技能：掌握求轨迹方程的主要方法及步骤，强化对求轨迹方程的主要方法的识别、选择能力，以及操作能力。

2、过程与方法：培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法

3、情感态度价值观：体验几何问如何转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具，同时对学生进行数形结合的思想和方法的教育，培养学生的兴趣、想象力和创新精神

教学重点：求轨迹方程的四种常见方法

教学难点：求轨迹方程方法的选择与操作

教学过程：

（一）热身训练：

1、已知椭圆M经过点(2,1)，且一个焦点为(2,0)，则M的标准方程是____________；

x2y2分析：设M的标准方程为221(ab0)ab21a24x2y2221法1：由ab

解得2，故所求方程为142b2a2b22法2：则2a(2(2))2(10)2(22)2(10)24a2 故a2=4，b2a2c2=2方法归纳：

轨迹方程求法1—待定系数法

基本思路

适用题型

先设出曲线方程，再列方程组或利用定义求待定系数. 已知曲线类型的求方程问题

22

2、动圆E与圆C:(x2)y1外切，又与直线x1相切，则圆心E的轨迹方程是_________.

分析：设E(x,y)则依题意有(x2)2y2(x1)+1,整理得y28x故E的轨迹方程为y28x法2：依题意知点E到点C(2,0)的距离与E到直线x2的距离相等故E的轨迹是焦点为(2,0)，准线为x2的抛物线故E的轨迹方程为y28x

1 x=-2yEx

OC

方法归纳：

轨迹方程求法2—直接法

基本思路

适用题型

先设所求动点坐标为(x、y)，再利用条件建立关于x、y的等式进行化简

不知轨迹类型但有明显几何条件的动点问题

轨迹方程求法3—定义法

基本思路

适用题型

利用定义判断出曲线类型，并得到相关参数进而确定曲线方程

可利用定义判断出曲线类型的问题

拓展：在上题条件下，若四边形OECP是平行四边形，则动点P的轨迹方程是_________________. 分析：设P(x,y)，E(x0,y0)

yx2x0x02xE则由OPEC可得，即

yy0y0y2又y08x0，故y28(2x)

因为O、E、C、P不共线，故y0

方法归纳：

轨迹方程求法4—相关点法（代入法）

基本思路

适用题型

OCx所以动点P的轨迹方程为y28(2x)(y0)

P先设要求轨迹的动点P为(x, y)，另一个动点为(x0, y0)，再利用这两个动点的关系把x0、y0所满足的条件表示成关于x、y的式子并化简即可

要求轨迹的动点P与另一个动点有关的问题

（二）方法梳理：常用轨迹方程求法如下

方法

待定系数法

直接法

定义法

相关点法

需注意问题

已知曲线类型的求方程问题

不知轨迹类型但有明显几何条件的动点问题

可利用定义判断出曲线类型的问题

要求轨迹的动点P与另一个动点有关的问题

1、要熟悉各种方法适用的题型；

2、注意求方程与求轨迹的区别；

3、要注意一些特殊位置及特殊点的限制。

适用题型

（三）真题演练：

1、（2016 全国卷I 理

20题第一问）

设圆xy2x150的圆心为A，直线l过点B(1,0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E，求点E的轨迹方程. y

EABD22xC

2

证明：BEAC △EBD∽△ACD|AC||AD| |EB||ED||EA||EB||EA||ED||AD|圆A的方程可化为(x1)2y216A(1,0)，|AD|4|EA||EB|=4|AB|又直线l与x轴不重合点E不在x轴上由椭圆定义可知，点E的轨迹方程为x2y2 1(y0)43

2、（2014 全国卷

I 文

20题第一问）

已知点P(2,2)，圆C:x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A,B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，求M的轨迹方程.

四、练习：

yBCMPAx1、已知圆O1： (x2)2y21和圆O2： (x2)2y24，若动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，则动圆圆心M的轨迹方程是____________.

12、已知实数m>0，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为－2，m求动点S的轨迹方程，并指出它是哪一种曲线.

x2y23、过椭圆M:221(ab0)的右焦点F作直线xy30交M于A,B两点，P为AB的ab1中点，且OP的斜率为，求M的方程. 2

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