4.3.2 空间两点间的距离公式第一课时导学案

【新课教学过程设计（二）】

第三章

直线与方程

第3.3.2节

两点间的距离

【本节教材分析】

（一）三维目标

1．知识与技能：掌握直角坐标系两点间的距离，用坐标证明简单的几何问题。2．过程与方法：通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性。3．情态和价值：体会事物之间的内在联系，能用代数方法解决几何问题。

（二）教学重点

①平面内两点间的距离公式. ②如何建立适当的直角坐标系.

（三）教学难点

如何根据具体情况建立适当的直角坐标系来解决问题.

（四）教学建议

距离概念，在日常生活中经常遇到，学生在初中平面几何中已经学习了两点间的距离、点到直线的距离、两条平行线间的距离的概念,到高一立体几何中又学习了异面直线距离、点到平面的距离、两个平面间的距离等.其基础是两点间的距离，许多距离的计算都转化为两点间的距离.在平面直角坐标系中任意两点间的距离是解析几何重要的基本概念和公式.到复平面内又出现两点间距离，它为以后学习圆锥曲线、动点到定点的距离、动点到定直线的距离打下基础，为探求圆锥曲线方程打下基础. 解析几何是通过代数运算来研究几何图形的形状、大小和位置关系的，因此，在学习解析几何时应充分利用“数形”结合的数学思想和方法. 在此之前，学生已学习了直线的方程、两直线的交点坐标，学习本节的目的是让学生知道平面坐标系内任意两点距离的求法公式，以及用坐标法证明平面几何问题的知识，让学生体会到建立适当坐标系对于解决问题的重要性. 课堂教学应有利于学生的数学素质的形成与发展，即在课堂教学过程中，创设问题的情境，激发学生主动地发现问题、解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性；有效地渗透数学思想方法，发展学生个性思维品质，这是本节课的教学原则.根据这样的原则及所要

完成的教学目标，下的教学方法：主要是引导发现法、探索讨论法、讲练结合法.

【新课导入设计】

导入一：

已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|? 导入二：

(1)如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们的坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求?(2)求B(3，4)到原点的距离.(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，求|AB|.

导入三：导入新课、展示目标

问题 已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|? 二、检查预习、交流展示

核对课前预习中的答案。1、（1，0）；2、1并说出自己的疑惑处。

【课堂结构】

提出问题

①如果A、B是x轴上两点，C、D是y轴上两点，它们坐标分别是xA、xB、yC、yD，那么|AB|、|CD|怎样求? ②求点B(3，4)到原点的距离. ③已知平面上的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)，如何求P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离|P1P2|. ④同学们已知道两点的距离公式，请大家回忆一下我们怎样知道的(回忆过程). 讨论结果：①|AB|=|xB-xA|,|CD|=|yC-yD|. ②通过画简图，发现一个Rt△BMO，应用勾股定理得到点B到原点的距离是5. ③

图1

在直角坐标系中，已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，如图1,从P1、P2分别向x轴和y轴作垂线P1M1、P1N1和P2M2、P2N2，垂足分别为M1(x1，0)、N1(0，y1)、M2(x2，0)、N2(0，y2)，其中直线P1N1和P2M2相交于点Q.

在Rt△P1QP2中，|P1P2|2=|P1Q|2+|QP2|2.

因为|P1Q|=|M1M2|=|x2-x1|,|QP2|=|N1N2|=|y2-y1|，

所以|P1P2|2=|x2-x1|2+|y2-y1|2. 22

由此得到两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距离公式：|P1P2|=(x2x1)(y2y1). ④(a)我们先计算在x轴和y轴两点间的距离. (b)又问了B(3,4)到原点的距离，发现了直角三角形.

(c)猜想了任意两点间距离公式. (d)最后求平面上任意两点间的距离公式.

这种由特殊到一般，由特殊猜测任意的思维方式是数学发现公式或定理到推导公式、证明定理经常应用的方法.同学们在做数学题时可以采用! 例题讲解

例1

如图2，有一线段的长度是13，它的一个端点是A(-4，8)，另一个端点B的纵坐标是3，求这个端点的横坐标.

图2 解:设B(x，3)，根据|AB|=13，

即(x+4)2+(3-8)2=132，解得x=8或x=-16. 点评：学生先找点，有可能找不全，丢掉点，而用代数解比较全面.也可以引至到A(-4，8)点距离等于13的点的轨迹(或集合)是以A点为圆心、13为半径的圆上与y=3的交点，应交出两个点. 例2

已知点A(-1，2)，B(2，7)，在x轴上求一点，使|PA|=|PB|,并求|PA|的值. 解:设所求点P(x，0)，于是有(x1)(02)由|PA|=|PB|,得x2+2x+5=x2-4x+11,解得x=1. 22即所求点为P(1，0),且|PA|=(11)(02)=22. 22(x2)2(07)2. 例3求下列点到直线的距离：

(1)A(0,0)，l：5x－12y－9＝0；

(2)A(－1,2)，l：y＝3x－3. |Ax0＋By0＋C|思路分析：直接应用公式d＝求值．

A2＋B2|5×0－12×0－9|9解：(1)d＝＝；

22135＋(－12)(2)直线方程化为3x－y－3＝0. |3×(－1)－2－3|∴d＝＝3＋1. 22(3)＋(－1)温馨提示：利用点到直线的距离公式求距离的程序是先将直线方程化为一般式，再运用公式求距离即可．

例4 求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为2的直线的方程．

解：当直线过原点时，设直线的方程为y＝kx，即kx－y＝0.

|3k－1|1由题设知2＝2，解得k＝1或k＝－. 7k＋1所以所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0. 当直线不经过原点时，设所求直线的方程为＋＝1，即x＋y－a＝0. |3＋1－a|由题意知＝2，解得a＝2或a＝6. 2所以所求直线的方程为

xyaax＋y－2＝0或x＋y－6＝0. 综上可知，所求直线的方程为x－y＝0或x＋7y＝0或x＋y－2＝0或x＋y－6＝0. 温馨提示：这是一道直线知识的综合题，涉及直线方程的截距式及点到直线的距离．解题时应注意直线过原点时的情形，避免漏解． 例5 求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l的距离为2的直线方程．

解：由题意可设所求直线方程为5x－12y＋c＝0.根据两平行直线间的距离公式得2.解之得c＝32或c＝－20. 所以所求直线方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0. 温馨提示：(1)已知一直线及两平行线间的距离求与此直线平行的另一直线方程，一般采用直线系方程来求解，结论有两条直线．(2)已知两平行直线方程求它们的距离，一般直接利用公式求解，也可以在其中一条直线上任取一点(可找特殊点如令x＝0或y＝0)，转化为一条直线上的点到另一条直线的距离问题． 例6 两条相互平行的直线分别过A(6,2)、B(－3，－1)，并且各自绕着A、B旋转，如果两平行线间的距离为d，

(1)求d的取值范围；(2)求当d取最大值时两直线的方程．

思路分析：由两平行线间距离公式写出d与k之间的函数关系式，不难求出d的范围．

解：(1)①当两条直线的斜率存在时，设两平行线的斜率为k，

则两直线方程分别为y－2＝k(x－6)与y＋1＝k(x＋3)．

即kx－y－6k＋2＝0，kx－y＋3k－1＝0. |9k－3|222∴d＝，由此得(81－d)k－54k＋9－d＝0. 21＋k∵k∈R，∴Δ＝54－4(81－d)(9－d)≥0，

∴d－90d≤0，得0

∵0<9<310，∴0

54(2)由(1)可知dmax＝310，此时k＝2＝－3，故两直线方程分别为：3x＋y－202(81－d)＝0,3x＋y＋10＝0. 温馨提示：本题也可从问题的几何背景考虑，易知分别过A、B的一切平行线间的距离均不超过A、B两点的距离|AB|，当且仅当两平行线与AB垂直时，两平行线间距离等于|AB|，2＋122所以dmax＝(6＋3)＋(2＋1)＝310，此时k·＝－1，即k＝－3.可见如借助几何直6＋3观背景发挥形象思维优势，常可得到简洁、优美的解法．

课堂小结

通过本节学习，要求大家：

①掌握平面内两点间的距离公式及其推导过程；

②能灵活运用此公式解决一些简单问题；

③掌握如何建立适当的直角坐标系来解决相应问题. 作业

课本习题3.3

A组6、7、8；B组6.

当堂检测

1.点M(x,xy)、N(y,xy)之间的距离为(

)

A.|x+y|

B.x+y

C.|x-y|

D.x-y 2.光线从点A(-3，5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2，10)，则光线从A到B的距离为(

) A.52

B.25

C.510

D.105

3.已知A(3，-1)、B(5，-2)，点P在直线x+y=0上，若使｜PA｜+｜PB｜取最小值，则P点坐标是( ) A.(1，-1) B.(-1，1) C.() D.(-2，2) 4.已知A(1，3)、B(5，-2)，点P在x轴上，则使｜AP｜-｜BP｜取最大值的点P的坐标是( ) A.(4，0) B.(13，0) C.(5，0) D.(1，0) 5.已知A(a，3)、B(3，3a+3)两点间的距离是5，则a的值为_____________. 6.以A(-1，1)、B(2，-1)、C(1，4)为顶点的三角形是______________三角形. 7.已知△ABC的顶点坐标为A(3，2)，B(1，0)，C(，)，则AB边上的中线CM的长为_____________________. 8.用坐标法证明等腰梯形的两条对角线长相等.

参考答案

1．思路解析:考查平面上两点间距离公式. MN=(x-y)(-xy-xy)故选A. 22x22xyy2=|x+y|.

2.

思路解析:直接求本题较为麻烦，可以通过对称问题求解.A(-3,5)关于x轴的对称点

A′(-3，-5)，则｜A′B｜即为所求，由两点间距离易求得｜A′B｜=510. 答案:C

3.

思路解析:点A(3，-1)关于直线x+y=0的对称点为A′(1，-3)，连结A′B与直线x+y=0的交点即为所求的点，直线A′B的方程为y+3=解得x=23113(x-1)，即y=x，与x+y=0联立,51441313，y=. 55

答案:C

4. 思路解析:点A(1，3)关于x轴的对称点为A′(1，-3)，连结A′B交x轴于点P，

即为所求.直线A′B的方程是y+3=答案:B

225.

思路解析:由两点间距离公式得｜AB｜=(a-3)(3-3a-3)5，解之,可得a=-1或23113(x-1)，即y=x.令y=0，得x=13. 51448. 5答案:-1或8

5

6. 思路解析:本题主要是考查平面上两点间距离公式和三角形形状的判断.目前，判断三角形的形状主要是利用三角形的三边关系.而知道三角形的三个顶点求三角形的三边，主要是利用平面上两点间的距离公式. 22由两点间的距离公式可得|AB|=(21)(-1-1)13. 同理可得|AC|=13，|BC|=26.

所以|AB|=|AC|. 又AB2+AC2=BC2=26，所以△ABC为等腰直角三角形. 答案:等腰直角

7. 答案:

思路解析:由中点公式得AB的中点的坐标为M(2，1). 由两点间的距离公式，有|CM|=(23-2)(1-3-1)∴AB边上的中线CM的长为6. 答案:6

8.用坐标法证明等腰梯形的两条对角线长相等. 思路解析:根据题意，可将问题用数学表达式写出：已知在等腰梯形ABCD中，CD∥AB. 求证：对角线AC=BD. 所以考虑建立适当的直角坐标系，得出相关点的坐标，利用两点间距离公式证明. 解:设等腰梯形ABCD中，AB∥CD，并设其上、下底边长和高分别为2a、2b和ｃ，建立如图所示直角坐标系，以下底AB中点O为坐标原点，以线段AB的垂直平分线所在直线为y轴建系，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB. 226.

可设A(-a，0)，B(a，0)，D(-b，c)，C(b，c)，

22则由两点间距离公式得｜AC｜=(ba)c，

22｜BD｜=(-b-a)c(ab)2c2，

∴|AC|=｜BD｜，即等腰梯形两对角线长相等.

全

品中考网