3.1直线的倾斜角与斜率（通用）板书设计及意图

教学设计

3.1.1直线的倾斜角和斜率

安徽省明光中学

范红圆

一、教材分析

本节课是人教A版数学必修二第一节直线的倾斜角和斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始。直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。本课涉及两个概念——倾斜角和斜率。倾斜角是几何概念，它主要起过渡作用，是联系新旧知识的纽带；斜率概念，不仅其建立过程很好地体现了解析法，而且它在建立直线方程、通过直线方程研究几何问题时也起核心作用。

二、学情分析

根据日常生活的经验，学生对直线已有一定的认识，但仍没有上升到成为具体“定义”的水平，将感性认识理性化，会对他们是一个挑战。在初中阶段已经涉及过一次函数，把代数与几何结合，将对他们又是一个挑战。因此，本节课的主要目的就是让学生在已有知识的基础上，将直线放入平面直角系，利用代数方法对它进行研究，从中体会解析几何的一些重要的数学思想。

三、教学目标

1、知识技能

(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念。

(2)掌握过两点的直线的斜率公式及应用。

2、过程与方法

(1)培养学生对数学知识的理解能力、应用能力及转化能力。

(2)使学生初步了解数形结合、分类讨论的数学思想方法。

3、情感、态度与价值观

(1)通过对直线倾斜角和斜率的学习，体验用代数方法刻画直线斜率的过程。

(2)通过坐标法的引入，培养学生联系、对应、转化等辩证思维。

四、教学重点、难点

重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式。

难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式。

五、学法与教法：

(1)、本节课采用的是教师设疑诱思、问题导学；学生动手操作、自主探究的教学方法。

(2)、教学用具：直尺、多媒体。

六、教学过程设计：

（一）导出课题

在平面直角坐标系中，点可以用坐标表示；那么直线该如何表示呢？引入课题——直线的倾斜角与斜率。

（二）自主探究，形成概念

问题1：在平面直角坐标系内哪些条件可以确定一条直线的位置呢？

[设计意图]：“思维从疑问开始”，创设情境，激发学生的求知欲，寻找本课时学习内容的固着点、生长点。

问题2：在直角坐标系内任给一个点，过这个点的直线有无数条。再给一个什么条件就可以唯一确定一条直线呢？

教师点拨：（借助于信息技术演示）发现，过一个点的直线有无数条，再借助坐标轴，给定直线与坐标轴的交角，那么直线就唯一确定了。

[设计意图]：学生通过观察图形与讨论，理解确定直线的条件以及直线倾斜角的定义。

（三）倾斜角的概念

（1）定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。

规定：当直线

与

轴平行或重合时，它的倾斜角为00 （2）倾斜角范围（结合倾斜角定义分析）：倾斜角α的取值范围为0o≤α<180o

[设计意图]：在研究倾斜角定义形成的过程中，引导学生研究所有直线与其倾斜角的关系，将定义具体化、全面化，利于学生理解倾斜角的意义和范围

( 3 ) 课堂练习

巩固概念

下列四图中表示直线的倾斜角的是（）

指出下图直线的倾斜角的度数

yy

30a

ooa

yy

a45

oao

(四)斜率概念的形成

问题3 ：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？这些量与倾斜角有关系吗？

升高量坡度（比）前进量

图（1）

[设计意图]：了解学生的知识经验，并引导学生建立坡度与倾斜角的关系。

给出斜坡的主视图如图（1），斜坡抽象为一条直线，它关于水平面的倾斜角记为α，那么这里的坡度（比）实际就是“倾斜角α的正切值”。

（1）

斜率定义：倾斜角不是90的直线，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率（得出斜率的定义）。即。

（2）斜率与倾斜角的关系：结合正切函数的图象分析K与倾斜角的关系。

[设计意图]：培养学生观察和概括问题的能力，分类讨论思想的应用培养学生思维的严谨性和科学性，体现数形结合的思想。

（五）师生互动，导出斜率公式

问题4：求直线的斜率还有其它方法吗？若已知两点的坐标如何求斜率？

xxABox（yoxyyxxxox

[设计意图]：使学生明确已知直线上两点的坐标，求其斜率的方法；体会构造的过程，渗透化归的数学思想，向学生展现数学的和谐与对称美。

师生探讨：讨论过两点的直线的斜率公式的推导思想，完成推导过程。

（1）斜率公式：经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1

yy公

k21x2x1

式是：

x2）的直线的斜率

（2）公式的特点:

当x1=x2时,公式不适用,此时α=900



斜率K与两点的顺序无关

直线的斜率可以通过直线上任意两点的坐标来表示

（六）知识应用

例1：已知点A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直线AB,BC,CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角。

变式1：若把C点坐标改为（X,3 ），且 A、B、C三点共线，其他条件不变，求X的值。

变式2：过C做直线L，且与线段AB相交，求L斜率K得取值范围。

变式3：若把C坐标改为（4，-1），其它条件与变式2相同，求K 范围。

[设计意图]：巩固本课时所学的基本知识。

（七）课堂练习

3Q(2，3)150,sin1、已知直线的倾斜角为α，若 求此直线的斜率。

52、在x轴上点P与 ，直线PQ倾斜角为 求点P坐标。

3、求证：点A（-2，3）B（7，6），C（4，5）在一条直线上。

[设计意图]：学生通过课堂练习，进一步巩固本节课所学内容，加强对所学知识

的理解和掌握。

（八）课堂小结

知识方面：倾斜角的定义、斜率的定义、利用坐标求斜率的公式及其适用范围 数学思想：数形结合，分类讨论，化归等数学思想；

（九）课后作业

P89习题3.1 T3、T4 七、教学反思

通过本节课的学习，学生能很好地理解直线的倾斜角和斜率的概念，理解倾斜角和斜率是分别从几何与代数两个不同的角度来刻画直线的倾斜程度，从而理解解析几何中将几何问题转化代数问题进行研究的数学思想，并能在之后的学习中逐步利用这种思想来研究解析几何问题。

教学中紧紧把倾斜角与斜率概念的得出作为重点，强调学生在得到概念这一过程中的积极参与、主动探索。通过设计一些具有思考价值的问题，引导学生的步步深入思考，最后在头脑中形成概念。然后通过一定的例题沟通数形关系，充分利用正切函数的图象，加深概念理解，明确可以用斜率表示直线的倾斜程度。