3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教案设计（一等奖）

第三章

直线与方程

3.1.1

直线的倾斜角和斜率

授课类型：新授课

一、教学目标：

1、知识与技能：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式。

2、过程与方法：

（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。

（2）经历用代数方法刻画直线斜率公式的推导过程。

3、情感态度与价值观：（1）通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力。

（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神。

二、教学重点、难点

重点：斜率的概念，用代数方法刻画直线斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式。

难点：直线的斜率与它的倾斜角之间的关系。

三、学法指导：启发、引导、讨论。

四、教学过程：[来源:Zxxk.Com]

（一）直线的倾斜角的概念

思考：对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定？问题1：已知直线l经过点P，直线l的位置能够确定吗？[来源学科网][来源学科网ZXXK]

问题2：过一点P可以作无数条直线l1，l2，l3，…，它们都经过点P（组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？

定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。

．．．特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定α = 0°。范围：0°

≤

α

＜180°。

当直线l与x轴垂直时，α = 90°。

当直线a ∥b ∥c，它们的倾斜角α相等，所以一个倾斜角α不能确定一条直线。

确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素：

一个点和一个倾斜角. 。

．．．P．．．．．．．α．（二）直线的斜率

思考：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？（坡度(比)升高量）

前进量[来源学科网]定义：一条直线的倾斜角α（α

≠ 90°）的正切值叫做这条直线的斜率。k = tan α（1）当直线l与x轴平行或重合时，α = 0°，k = tan0° = 0；

（2）当直线l与x轴垂直时，α = 90°，k不存在。

如：α =

45°时，k = tan45° = 1；α =135°时，k = tan135° = – tan45° = – 1。

（三）

直线的斜率公式

问题：给定两点P1 (x1 , y1) , P2 (x2 , y2)，x1 ≠

x2，求直线P1P2的斜率。

（1）当α为锐角时，Q(x2,y1)，

ktantanP2P1Q|P2Q|y2y1。

|P1Q|x2x1（2）当α为钝角时，Q(x2,y1)，

ktantantanP2P1Q

结论（直线的斜率公式）：ktan|P2Q|yy1y2y1。

2|P1Q|x1x2x2x1y2y1(x1x2)。

x2x1思考：（1）当直线与x轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

（2）已知直线上两点A(a1,a2),B(b1,b2)，运用上述公式计算直线AB的斜率时，与A、B两点坐标的顺序有关吗？

（3）当直线与y轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？

（四）例题巩固

例1：已知A (3 , 2) ,

B (– 4 , 1) , C (0 , – 1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角。

]分析：kAB角为锐角。

一般结论：

11，其倾斜角为锐角；kBC，其倾斜角为钝角；kAC1，其倾斜72当k = tan α < 0时，倾斜角α是钝角；当k = tan α > 0时，倾斜角α是锐角；当k = tan α = 0时，倾斜角α是0°。

例2：在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1，–

1 ，2，及

–

3的直线l1，l2，l3及l4。

分析：要画出经过原点的直线，只要再找出l1上的另外一点M，而M的坐标可以根据直线l1的斜率确定。

（五）课堂练习：

1.若k≥0，则α的范围是______________。

若k<0，则α的范围是________________ 2.判断

（1）直线的倾斜角为α,则直线的斜率为tan α。

（2）直线的斜率为tan β,则直线的倾斜角为β。

（3）所有的直线都有倾斜角,故所有的直线都有斜率。

3.已知x , y满足y=x2-2x+2（-1≤x≤1），

求

y



3

的最值

（六）归纳小结：

（1）直线的倾斜角和斜率的概念；

（2）直线的斜率公式：ktanx2y2y1(x1x2)。

x2x1（七）作业：课本P89，习题3.1 [A组] 第2，3，4题。