1.2.3 空间几何体的直观图教学设计内容推荐

1.2.3

空间几何体的直观图

学习目标

1.掌握斜二测画法的作图规则.2.会用斜二测画法画出简单几何体的直观图．

知识点

斜二测画法

阅读教材并思考下列问题：

思考1

边长2 cm的正方形ABCD水平放置的直观图如下，在直观图中，A′B′与C′D′有何关系？A′D′与B′C′呢？在原图与直观图中，AB与A′B′相等吗？AD与A′D′呢？

1答案

A′B′∥C′D′，A′D′∥B′C′，A′B′＝AB，A′D′＝AD. 2思考2

正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图如图所示，在此图形中各个面都画成正方形了吗？

答案

没有都画成正方形．

梳理

(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则

(2)立体图形直观图的画法规则

画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于

O′z′的线段长度不变，其他同平面图形的画法．

类型一

平面图形的直观图

在草稿纸上完成下列问题及引申探究：

例1

画出如图水平放置的直角梯形的直观图．

解

(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(1)(2)所示．

1(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行2线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图(2)．

(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3)．

引申探究

例1中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何？

解

画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°. 1(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画出2C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.

(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．

反思与感悟

(1)本题利用直角梯形互相垂直的两边建系，使画直观图非常简便．

(2)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．

跟踪训练1

用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图．

解

(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．

(2)画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°. 1在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝OA，连接A′B′，2A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．

类型二

直观图的还原与计算

命题角度1

由直观图还原平面图形

例2

如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．

解

①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；

②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；

③连接AB，BC，得△ABC. 则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．

反思与感悟

由直观图还原平面图形的关键：(1)平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴的线段扩大为原来的2倍；(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．

跟踪训练2

如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________．

答案

菱形

解析

如图所示，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×22＝42(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，∴OC＝OD2＋CD2＝422＋22＝6(cm)，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．

命题角度2

原图形与直观图的面积的计算

例3

如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，2A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．

3

解

如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝

O′D1＝1，OC＝O′C1＝2. 在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2. 在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2. 连接BC，即得到了原图形．

由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰的长度AD＝2，

2＋3所以面积为S＝×2＝5. 2反思与感悟

(1)由原图形求直观图的面积，关键是掌握斜二测画法，明确原来实际图形中的高，在直观图中变为与水平直线成45°角且长度为原来一半的线段，这样可得出所求图形相应的高．

(2)若一个平面多边形的面积为S，它的直观图面积为S′，则S′＝2S. 4跟踪训练3

如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形

A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是(

)

1A.

2C.2

答案

C 1解析

直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为，又直观图与原平面图形面积比2为2∶4，所以原图形的面积为2，故选C. 类型三

空间几何体的直观图

例4

用斜二测画法画出正六棱柱(底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱)的直观图．(尺寸自定) 解

如图所示．

B.2

2D．22

①画轴．画出x轴，y轴，z轴，使∠

xOy＝45°，∠xOz＝90°. ②画底面．画出正六边形的直观图ABCDEF. ③画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取长

度相等的线段AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′. ④连线成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理，就得到底面为正六边形，侧面为矩形的正六棱柱．

反思与感悟

简单几何体直观图的画法

(1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系．

(2)画底面：根据平面图形直观图的画法确定底面．

(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点．

(4)连线成图．

跟踪训练4

用斜二测画法画出六棱锥P－ABCDEF的直观图，其中底面ABCDEF为正六边形，点P在底面上的投影是正六边形的中心O.(尺寸自定) 解

画法：

(1)画出六棱锥P－ABCDEF的底面．①在正六边形ABCDEF中，取AD所在的直线为x轴，对称轴MN所在的直线为y轴，两轴相交于点O，如图(1)，画出相应的x′轴、y′轴、z′轴，三轴相交于O′，使∠x′O′y′＝45°，∠x′O′z′＝90°，如图(2)；②在图(2)中，以1O′为中点，在x′轴上取A′D′＝AD，在y′轴上取M′N′＝MN，以点N′为中点，2画出B′C′平行于x′轴，并且等于BC，再以M′为中点，画出E′F′平行于x′轴，并且等于EF；③连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′得到正六边形ABCDEF水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′. (2)画出正六棱锥P－ABCDEF的顶点，在z′轴正半轴上截取点P′，点P′异于点O′. (3)成图．连接P′A′，P′B′，P′C′，P′D′，P′E′，P′F′，并擦去x′轴、y′轴和z′轴，便可得到六棱锥P－ABCDEF的直观图P′－A′B′C′D′E′F′，如图(3)．

1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的(

)

答案

C 解析

正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.

2．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的(

)

答案

C 解析

在x轴上或与x轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y轴上或平行于y轴的线1段在新坐标系中的长度变为原来的，并注意到∠xOy＝90°，∠x′O′y′＝45°，因此由直2观图还原成原图形为选项C. 3．若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的(

) A.22倍

B．2倍

C.倍

D.2倍

42答案

A 4．如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是________．

答案

10 解析

在原图中，AC＝6，BC＝4×2＝8，∠AOB＝90°，

∴AB＝62＋82＝10. 5．画出一个正三棱台的直观图．(尺寸：上、下底面边长分别为1 cm,2 cm，高为2 cm) 解

(1)作水平放置的下底面等边三角形的直观图△ABC，其中O为△ABC的重心，BC＝2 cm，线段AO与x轴的夹角为45°，AO＝2OD.

(2)过O作z轴，使∠xOz＝90°，在z轴上截取OO′＝2 cm，作上底面等边三角形的直观图△A′B′C′，其中B′C′＝1 cm，连接AA′，BB′，CC′，得正三棱台的直观图．

1．画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．

2．用斜二测画法画图时要紧紧把握住：“一斜”、“二测”两点：

(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox、Oy轴，在直观图中画成O′x′、O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°. (2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半”．