习题4.2优秀教学设计内容

4.2.直线与圆的位置关系教学设计

一：教学目标

1：知识与技能

（1）

理解直线与圆的位置关系的种类；

（2）

利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离。

（3）

会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系。

2：过程与方法

222l:axbyc0设直线，圆C：的xabyr

求圆心到直线的距离。

若d＞r，则直线与圆相离；

若d＝r，则直线与圆相切；

若d＜r，则直线与圆相交。

3：情态与价值观

让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思维方式

二：教学重点与难点

重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法。

难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系。

三：教学过程设计

复习提问

1：点到直线的距离公式，圆的标准方程和一般方程分别是什么？daxbycab22，

xabyr2，

22xyDxEyF0

2．一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮22

船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？

知识探究(一)：直线与圆的位置关系的判定

思考1: 在平面几何中，直线与圆的位置关系有几种？

思考2: 在平面几何中，我们怎样判断直线与圆的位置关系？

思考3: 如何根据直线与圆的公共点个数判断直线与圆的位置关系？

思考4: 在平面直角坐标系中，我们用方程表示直线和圆，如何根据直线与圆的方程判断它们之间的位置关系？

方法一:根据直线与圆的联立方程组的公共解个数判断；

方法二:根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系判断. 思考5:上述两种判断方法的操作步骤分别如何？

方法一: 代数法：

根据直线与圆的联立方程组的公共解个数判断； 1.将直线方程与圆方程联立成方程组；

2.通过消元，得到一个一元二次方程; 3.求出其判别式△的值；

4.比较△与0的大小关系：

若△>0，则直线与圆相交；

若△=0，则直线圆相切；

若△<0，则直线与圆相离。

方法二:几何法

根据圆心到直线的距离与圆半径的大小关系判断. 1.把直线方程化为一般式，并求出圆心坐标和半径r；

2.利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离d；

3.比较d与r的大小关系：

若d＞r，则直线与圆相离；

若d＝r，则直线与圆相切；

若d＜r，则直线与圆相交．

理论与方法应用

牛刀小试

例1 已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆的位置关系；如果相交，求两个交点的距离．（学生上黑板，一位用几何法，一位用代数法）

•

方法一：代数法

•

联立方程组

23xy60x2y22y402

消去y整理得x3x20

341210

•

故直线与圆相交.

得两交点坐标为

1,3,2,0

22两点间的距离为

(12)(30)10

即弦长 10 方法二：几何法

直线方程为 3x＋y－6＝0， 圆的方程为 x2＋y2－2y－4＝0，其标准方程为x2(y1)25 ，所以圆心为（0,1）

半径为

5 。所以圆心到直线的距离为d|3016|31225101025所以直线与圆相交，根据垂径定理易得弦长为10

分析学生出现的问题，好的做法给以表扬和鼓励。

例2 过点M(－3，－3)的直线l被圆x2＋y2＋4y－21=0所截得的弦长为45 ，求直线l的方程. (提示：垂径定理，点到直线的距离公式.(老师板书) 分析：(1)若要求出直线方程，则需要求出直线的斜率。那么需要考虑直线的斜率是否存在。

(2)考虑用几何法还是用代数法来解决。

解：圆的方程x2＋y2＋4y－21=0，可化为x2(y2)225，圆心为（0，—2），半径r=5。

l弦长l45，设弦心距为d，则由r2d2，可得d5。

22（1）

若直线的斜率不存在，则直线方程为x3，弦心距为d2，不符题意。

(2)设直线方程为y3k(x3)，即：kxy3k30。（0，—2）到直线l的距离dk(3)(3)3k3k2(1)215,解得：k2或k=。

2所求直线方程为2x-y+3=0或x+2y+9=0。

知识探究（二）：圆的切线方程

思考1:过圆上一点，圆外一点，园内一点作圆的切线，分别可作多少条？

分析：过圆上一点有一条切线；过圆外一点有两条；过圆内一点有零条切线。

思考2:设点M(1，2)为圆x2＋y2=5上一点，如何求过点M的圆的切线方程？

分析：经分析可知，点M在圆x2＋y2=5上，所以圆心与切点的连线与切线垂直。

解：圆心O(0,0),点M(1,2),

kOM2) 2012,切线l的斜率kl，又切线过切点M(1，102

切线方程为y2(x1)，即x2y50。

12，

思考3:设点M(2，3)为圆 x2＋y2=4外一点，如何求过点M的圆的切线方程？

分析：经检验知点M(2,3)在圆外，所以过M点有两条切线。

解：由题意知圆心坐标为O（0，0），半径r=2，

（1）

若过M点直线的斜率不存在，则直线方程为x2，所以圆心O到直线x2的距离为d=2，所以直线与圆相切。

xy2k30（2）

若过M点直线的斜率存在，则可设直线方程为l：y3k(x2)，即k。

由点到直线的距离公式，得圆心O（0，0）到l的距离为d解得k

综上所诉：过点M的切线直线方程为x2或5x12y260。

k002k3k122r2

55。所以直线方程为y3(x2)，即5x12y260。

1212课后思考题：例3求过点P（2，1），圆心在直线2x＋y=0上，且与直线x-y-1＝0相切的圆方程.

小结 1：判断直线与圆的位置关系。 代数法，几何法

2：解题时充分利用圆的几何性质。

作业:

P128练习：2，3，4．

P132习题4.2A组：2，3，5．