3.1.2 空间向量的数乘运算第二课时教学实录

学校：

临清一中

学科：数学

编写人：孙淑萍

审稿人：张林

3.1.2空间向量及其运算（2）

教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．

教学重、难点：共线、共面定理及其应用．

教学过程：

（一）复习：空间向量的概念及表示；

（二）新课讲解：

1．共线（平行）向量：

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：a平行于b，记作：a//b．

2．共线向量定理：

对空间任意两个向量a,b(b0),a//b的充要条件是存在实数，使ab（唯一）．

推论：如果l为经过已知点A，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式OPOAtAB①，其中向量a叫做直线l的方向向量。在l上取ABa，则①式可化为OPOAtAB或OP(1t)OAtOB②

11时，点P是线段AB的中点，此时OP(OAOB)③

22①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB的中点公式．

当t

3．向量与平面平行：

lPBaAO已知平面和向量a，作OAa，如果直线OA平行于或在内，那么我们说向量a平行于平面，记作：a//．

通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．

说明：空间任意的两向量都是共面的．

4．共面向量定理：

a

a



如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的充要条件是存在实数x,y使pxayb．

推论：空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实数对x,y，使或对空间任一点O，有OPOMxMAyMB①

MPxMAyMB上面①式叫做平面MAB的向量表达式．

（三）例题分析：

例1．已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP122OAOBOC，

555

试判断：点P与A,B,C是否一定共面？

解：由题意：5OPOA2OB2OC，

∴(OPOA)2(OBOP)2(OCOP)，

∴AP2PB2PC，即PA2PB2PC，

所以，点P与A,B,C共面．

说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．

【练习】：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式OPxOAyOBzOC

（其中xyz1）的四点P,A,B,C是否共面？

解：∵OP(1zy)OAyOBzOC，

∴OPOAy(OBOA)z(OCOA)，

∴APyABzAC，∴点P与点A,B,C共面．

例2．已知ABCD，从平面AC外一点O引向量

OEkOA,OFKOB,OGkOC,OHkOD，

（1）求证：四点E,F,G,H共面；

（2）平面AC//平面EG．

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴ACABAD，

∵EGOGOE，

kOCkOAk(OCOA)kACk(ABAD)k(OBOAODOA)OFOEOHOEEFEH∴E,F,G,H共面；

（2）∵EFOFOEk(OBOA)kAB，又∵EGkAC，

∴EF//AB,EG//AC

所以，平面AC//平面EG．

课堂练习：

课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；

2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．

作业：

1．已知两个非零向量e1,e2不共线，如果ABe1e2，AC2e18e2，AD3e13e2，

求证：A,B,C,D共面．

2．已知a3m2n4p,b(x1)m8n2yp，a0，若a//b，求实数x,y的值。

3．如图，E,F,G,H分别为正方体AC1的棱A1B1,A1D1,B1C1,DC11的中点，

求证：（1）E,F,D,B四点共面；（2）平面AEF//平面BDHG．

4．已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点，

（1）用向量法证明：E,F,G,H四点共面；

（2）用向量法证明：BD//平面EFGH．

[来源:学科网]

[来源:Zxxk.Com]

[来源:Z|xx|k.Com]

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临清一中

学科

数学

编写人

孙淑萍

审稿人

3.1.2空间向量及其运算（2）

课前预习学案

预习目标：1.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式

预习内容：

⑴怎样的向量叫做共线向量？

⑵两个向量共线的充要条件是什么？

⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？

⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？

⑸怎样的向量叫做共面向量？

⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？

⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？

提出疑惑：

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

课内探究学案

学习目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；

2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．

学习重、难点：共线、共面定理及其应用．

学习过程：

例1．已知A,B,C三点不共线，对平面外任一点，满足条件OP试判断：点P与A,B,C是否一定共面？

【练习】：对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式

疑惑内容

122OAOBOC，

555OPxOAyOBzOC

（其中xyz1）的四点P,A,B,C是否共面？

．

[来源:Z_xx_k.Com]

例2．已知ABCD，从平面AC外一点O引向量

OEkOA,OFKOB,OGkOC,OHkOD，

（1）求证：四点E,F,G,H共面；

（2）平面AC//平面EG．

当堂检测：

1、如图中，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分所成的定比为2，现用基向量（

）

A．

B．

C．2．下列命题正确的是

D．

（

）

(A)若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；

(B)向量a,b,c共面就是它们所在的直线共面；

(C)零向量没有确定的方向；

(D)若a//b，则存在唯一的实数使得ab；

3．已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是

（

）

(A)OMOAOBOC

11(C)OMOAOBOC

23(B)OM2OAOBOC

111(D)OMOAOBOC

333来[源ZxxkCom]

4．已知两个非零向量e1,e2不共线，如果ABe1e2，AC2e18e2，AD3e13e2，

求证：A,B,C,D共面．

课堂练习与提高：

1．已知a3m2n4p,b(x1)m8n2yp，a0，若a//b，求实数x,y的值。

2．如图，E,F,G,H分别为正方体AC1的棱A1B1,A1D1,B1C1,DC11的中点，

求证：（1）E,F,D,B四点共面；（2）平面AEF//平面BDHG．

3．已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点，

（1）用向量法证明：E,F,G,H四点共面；

（2）用向量法证明：BD//平面EFGH．