3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优秀教学设计

3.1.1 倾斜角与斜率

一、教学目标

1.知识与技能：

（1）通过实例，了解倾斜角与斜率的几何意义；

（2）理解倾斜角与斜率的联系；

（3）会用倾斜角与斜率的联系解决实际问题.

2.过程与方法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力.

3.情感态度价值观：

（1）倾斜角与斜率的核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；

（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想

二、重点难点

1.教学重点：理解倾斜角与斜率的联系

2.教学难点：利用倾斜角与斜率的联系解决实际问题.

三、教学过程

1.直线的倾斜角的概念

我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢? YabcOPX

(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同? 引入直线的倾斜角的概念: 当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°. ．．．问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的

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每一条直线的倾斜程度. 直线a∥b∥c, 那么它们的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点和一个倾斜角α．．．P．．．．．．．．. 2.直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是

k = tanα

⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1; α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. 3.直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式：

对于上面的斜率公式要注意下面四点：

(1) 当x1x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90, 直线与x轴垂直；

(2)k与P1,P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换; (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当y1y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

四、例题讲解

例1：下列命题正确的是（

）

A,直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan，

B,直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为，

2

C,若直线的倾斜角为，则sin0D,任一条直线都有倾斜角，但它不一定有斜率

例2，下列说法中正确的有_________ ①，若两直线斜率相等，则两直线平行；②，若l1//l2,则k1k2；③，若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；④，若两直线斜率都不存在，则两直线平行。

例3，已知坐标平面内三点A（-1,1），B（1,1），C（2，3+1），（1）求直线AB,BC,AC,的 斜率和倾斜角，（2）若D为ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的取值范围。

例4，已知A(m,3),B(1,m)是斜率为m的直线上的两点，求直线的倾斜角。

例5、已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.

例6，已知点A(2，3),B（-3，-2），直线l过点P（1,1）且与直线AB相交， 求直线l斜率的取值范围。

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五、课堂练习：

1、求经过下列两点直线的斜率，并判断倾斜角是锐角还是钝角。

（1）A(3,2),B(4,1)（kAB（2）A(3,2),B(4,1)（kAB1）

71）

（3）A(3,2),B(3,1)（不存在）

（4）A(3,2),B(4,2)（kAB0）

2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1,2的直线l1,l2

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