1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）课件配套优秀

空间几何体的表面积与体积

一、学习目标：

了解空间几何体的表面积和体积的计算公式,能够计算基本几何体及它们的简单组合体的表面积和体积。

二、重点、难点：

重点：会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积。

难点：几何体的侧面展开图，计算组合体的表面积和体积。

1. 多面体的面积和体积公式

名称

棱柱[来侧面积（S侧）

直截面周长×l ch 各侧面面积之和

全面积（S全）

体

积（V）

S底·h=S直截面·h 棱柱

直棱柱

棱锥

正棱锥

棱台

源:Z_xx_k.Com]S侧+2S底来源学科网ZXXK]

[来源学§科§S底·h 网]

棱

锥

棱

台

1ch′

2各侧面面积之和

S侧+S底

1S底·h 31h(S上底+S下底+3S上底S下底) 正棱台

1

(c+c′)h′

2S侧+S上底+S下底

表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面的周长，h表示高度，h′表示斜高，l表示侧棱长。

2. 旋转体的面积和体积公式

名称

S侧

S全

V 圆柱

2πrl

2πr(l+r)

πr2h（即πr2l）

圆锥

πrl

πr(l+r)

圆台

π(r1+r2)l π(r1+r2)l+π(r21+r22) 球

4πR2

12πrh 31πh(r21+r1r2+r22) 343πR

3

表中l、h分别表示母线长、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底面

半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面的半径，R表示半径。

柱、锥、台体的表面积

ABC为等边三角形，SASBSC，

例1：三棱锥SABC中，侧面积是底面积的2倍。且该三棱锥的高SO3，O为ABC的中心，且SO垂直于ABC内任意直线，求其表面积。

思路分析：构造棱锥的高、斜高所在的直角三角形，利用方程思想求解

解答过程：设该三棱锥底面边长为a，侧面SAB的高SE为h，如图，过O作OEAB，SEAB，SEh。

132a2。

S侧2S底，3ah24

a3h。

SOOE，SO2OE2SE2。

32h2。

即33h6h23，a3h6。

S底S表2323a6293，S侧2S底183，

44S侧S底93183273。

解题后的思考：构造直角三角形，利用勾股定理来建立方程，求得未知量的方程思想在计算中经常用到。

柱、锥、台体的体积

例2：已知正三棱台（上、下底是正三角形，上底面的中心在下底面的投影是下面底中心）的上、下底面边长分别是2cm与4cm，侧棱长是6cm，试求该三棱台的体积。

思路分析：利用棱台的体积计算公式，求出棱台的高，上、下底面的面积，代入公式即可。

解答过程：如图所示，O、O是上、下底面的中心，连结OO、OB、OB，在平面BOOB内作BEOB于E。

ABC是边长为2的等边三角形，O是中心，

2323，

23234323同理OB，则BEOBOB。

3323在RtBEB中，BB6，BE，

34242，即棱台高为cm。

BE33OB

所以三棱台的体积为V棱台14231634334471433（cm3）。

164443解题后的思考：将求体积的立体问题转化为平面问题求解，是立体几何中的常用方法。

球的表面积和体积的计算

例3：一个球内有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49cm2和400cm2，求球的表面积和体积。

思路分析：求球的表面积和体积关键是求出球的半径，可考虑球的轴截面。

解答过程：（1）当截面在球心的同侧时，如图所示为球的轴截面。由球的截面性质，知AO1//BO2，且O1、O2分别为两截面圆的圆心，则OO1AO1，OO2BO2。

设球的半径为R。

O2B249，O2B7。

2同理，O1A400，O1A20。

设OO1x，则OO2x9。

222在RtOO1A中，Rx20，

在RtOO2B中，R2x972，

22x220272x9，解得x15。

R2x2202252，R25。

462500（cm3），

S球4R22500（cm2），V球R33362500cm3。

球的表面积为2500cm2，体积为3

（2）当截面位于球心O的两侧时，如图所示为球的轴截面。由球的截面性质，知O1A//O2B，且O1、O2分别为两截面圆的圆心，则OO1AO1，OO2O2B。设球的半径为R。

O2B49，O2B7。

同理，O1A2400，O1A20。

设O1Ox，则OO29x。

在RtOO1A中，R2x2400。

在RtOO2B中，R29x49，

222

x24009x49，解得x15，不合题意，舍去。

62500cm3。

综上所述，球的表面积为2500cm2，体积为3解题后的思考：解题时要注意，球的截面可能位于球心的同侧，也可能位于球心的两侧。

组合体的问题

例4求半径为R的球内接正方体的表面积。

思路分析：正方体内接球时，球与正方体关系如图（1），过不相邻的两条棱的平面截球，所得截面如图（2），只有深刻理解其相互关系，才能画出正确的截面图进行解题。

B1D为正方体的对角线，解答过程：如图（1）所示，设正方体棱长为x，那么3x22R，2

x

23R，

32

解题后的思考：组合体问题，尤其是球与其他几何体的组合问题，一直是高考中的热点，所以同学们在平时的解题中应注意观察，有关球的组合体中各图形的位置关系。

238R2。

S正方体表面积6R32即正方体的表面积为8R。

（答题时间：60分钟）

一、选择题：

1. 如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为等边三角形，俯视图为一个半径为3的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为（

）

A. 3π

B. 3π

C. 33π

D. 93π

2. 若正方体的八个顶点中有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比是（

）

A. 3

B. 2

C. 23

D. 3

2

3. 已知一个空间几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该空间几何体的体积是

（

）

14A.

3

7B.

C. 14

3D. 7