2.1.4 平面与平面之间的位置关系板书设计

2.3.2平面与平面垂直的判定

教学目标

1、知识与技能

（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；

（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；

（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

2、过程与方法

（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；

（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理。[来源:Z,xx,k.Com]

3、情态与价值

通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力。

教学重点、难点。

重点：平面与平面垂直的判定；

难点：如何度量二面角的大小。

学法与教学用具。

1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。

2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）

教学过程：

一、复习准备：

1.复***面垂直的判定（定理、图形、符号语言）. 2.探究：已知三棱锥P-ABC，作PO⊥底面ABC，垂足为O，当给定什么已知条件时，O分别是三角形ABC的外心、垂心？（参考教材P67 练习2）

3.实际需要引出二面角的定义：修筑水坝、发射人造地球卫星. 二、讲授新课：[来源:Zxxk.Com]

1.教学二面角的定义：

①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角－AB－. （简记P－AB－Q）

②二面角的平面角：在二面角－l－的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面,内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成

的AOB叫做二面角的平面角. 作用：衡量二面角的大小；范围：001800.[来源:Zxxk.Com]

2.教学平面与平面垂直的判定：

①定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作. （能用定义来判定两个平面是否垂直？）[来源:学_科_网]

②判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直面面垂直）

③出示例1：如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上不同于A,B的任意一点，求证：面PAC平面PBC. （讨论师生共析学生试写证明步归纳：线线垂直线面垂直面面垂直）

平骤

④练习：教材P77页探究题

提问：（1）四个面的形状怎样？

（2）有哪些直线与平面垂直？

（3）任意两个平面所成的二面角的平面角如何确定？

⑤示例2：已知空间四边形ABCD的四条边和对角线都相等，求平面ACD和平面BCD所在二面角的大小. (分析学生自练)

⑥练习：如图，已知三棱锥DABC的三个侧面与底面全等，且ABAC3,BC2，

求以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大小？

3. 小结：二面角的定义、二面角的平面角、二面角平面角的求法、平面与平面垂直的判定. 三、巩固练习：（依时间而定）

第一课时 §2.3.1直线与平面垂直的判定

一、教学目标

1、知能目标

（1）使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；

（2）使学生掌握判定直线和平面垂直的方法；

（3）培养学生的几何直观能力，使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳、概括结论。

2、情感目标

培养学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知。

二、教学重点、难点

直线与平面垂直的定义和判定定理的探究。

三、教学设计

（一）课题导入

1、教师首先提出问题：在现实生活中，我们经常看到一些直线与平面垂直的现象，例如：“旗杆与地面，大桥的桥柱和水面等的位置关系”，你能举出一些类似的例子吗？然后让学生回忆、思考、讨论、教师对学生的活动给予评价。

2、接着教师指出：一条直线与一个平面垂直的意义是什么？并通过分析旗杆与它在地面上的射影的位置关系引出课题内容。

（二）研探新知

1、为使学生学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新

知，可再借助长方体模型让学生感知直线与平面的垂直关系。然后教师引导学生用“平面化”的思想来思考问题：从直线与直线垂直、直线与平面平行等的定义过程得到启发，能否用一条直线垂直于一个平面内的直线来定义这条直线与这个平面垂直呢？并组织学生交流讨论，概括其定义。

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图2.3-1，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。并对画示表示进行说明。

L p α 图2-3-1 2、老师提出问题，让学生思考：

（1）问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？

（2）师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图2.3-2试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？

A

B D C 图2.3-2 （3）归纳结论：引导学生根据直观感知及已有经验（两条相交直线确定一个平面），进行合情推理，获得判定定理：

一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平

面垂直。

老师特别强调：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

（三）实际应用,巩固深化

（1）课本P73例1教学

（2）课本P74例2教学[来源:Zxxk.Com]

（四）归纳小结，课后思考

小结：采用师生对话形式，完成下列问题：

①请归纳一下获得直线与平面垂直的判定定理的基本过程。②直线与平面垂直的判定

定理，体现的教学思想方法是什么？

课后作业: ①课本P74练习2 ②求证：如果一条直线平行于一个平面，那么这个平面的任何垂线都和这条直线垂直。

思考题：如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线就和这个平面垂直，这个结论对吗？为什么？

§2.3.2平面与平面垂直的判定

一、教学目标

1、知能目标

（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；

（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；

（3）使学生理会“类比归纳”思想在数学问题解决上的作用。

2、情感目标[来源:学科网ZXXK]

通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、

解决问题能力。[来源:Zxxk.Com]

二、教学重点、难点。

重点：平面与平面垂直的判定；

难点：如何度量二面角的大小。

三、学法与教学用具。

1、学法：实物观察，类比归纳，语言表达。

2、教学用具：二面角模型（两块硬纸板）

四、教学设计

（一）课题导入

问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？

问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？

以上问题让学生自由发言，教师再作小结，并顺势抛出问题：在生产实践中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，你能举出这个问题的一些例子吗？如修水坝、发射人造卫星等，而这样的角有何特点，该如何表示呢？下面我们共同来观察,研探。

（二）研探新知

1、二面角的有关概念

老师展示一张纸面，并对折让学生观察其状，然后引导学生用数学思维思考，并对以上问题类比，归纳出二面角的概念及记法表示（如下表所示）

角

A 图形

边

顶点 O 边 B 从平面内一点出发的两条二面角

A 梭 l β

B

α

从空间一直线出发的两个半定义

射线（半直线）所组成的图平面所组成的图形

形

构成

表示

射线

—

点（顶点）一

射线

∠AOB 半平面

一

线（棱）一

半平面

二面角α-l-β或α-AB-β

2、二面角的度量

二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系，如我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们应如何度量二两角的大小呢？师生活动：师生共同做一个小实验（预先准备好的二面角的模型）在其棱上位取一点为顶点，在两个半平面内各作一射线（如图2.3-3），通过实验操作，研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。

教师特别指出：

（1）在表示二面角的平面角时，要求“OA⊥L”

，OB⊥L；

（2）∠AOB的大小与点O在L上位置无关；

（3）当二面角的平面角是直角时，这两个平

面的位置关系怎样？

承上启下，引导学生观察，类比、自主探究， β

B

获得两个平面互相垂直的判定定理：

一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 C O A （α

例图2.3-3 做法：教师引导学生分析题意，先让学生自己动手推理证明，然后抽检学生掌握情况，教师最后讲评并板书证明过程。

（四）运用反馈，深化巩固

题：课本P.76例三）应用举例，强化所学 3

问题：课本P.77的探究问题

做法：学生思考（或分组讨论），老师与学生对话完成。

（五）小结归纳，整体认识

（1）二面角以及平面角的有关概念；

（2）两个平面垂直的判定定理的内容，它与直线与平面垂直的判定定理有何关系？

（六）课后巩固，拓展思维

1、课后作业：自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二两角的平面角互补。

2、课后思考问题：在表示二面角的平面角时，为何要求“OA⊥L、OB⊥L”？为什么∠AOB 的大小与点O在L上的位置无关？