正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系板书设计及设计说明

24.3 正多边形和圆

课题

知识技能

教学目标

情感态度

教学重点

教学难点

授课类型

教具

教学活动

教学步骤

回（（多媒体演示）

问题：

顾

1.切线长定理的内容是什么？请画出一个三角形的内切圆. 2.请画出垂径定理的基本图形，并说明其中的数量关系. 1

24.3

正多边形和圆

授课人

使学生经历正多边形的形成过程，了解正多边形的有关概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；

使学生丰富对正多边形的认识，通过设计图案，发展学生的形象思维；

使学生会等分圆周，利用等分圆周的方法构造正多边形，并会设计图案，发展学生的实践能力和创新精神；

通过等分圆周、构造正多边形等实践活动，使学生在数学学习活动中获得成功的体验，建立自信心．

数学思考

问题解决

理解掌握正多边形的半径、中心角、边心距、边等名称及其中的关系；

探索正多边形和圆的关系；

新授课

课时

第一课时

多媒体

师生活动

设计意图

回顾以前学习过的且对本节课的学习

3.什么是正多边形？你对正多边形有多少了解呀？

师生活动：教师引导学生进行解答，并适时作出补充和讲解. 有基础作用的知识，为学习新知打下基础. 活动一：

创设情境

导入新课

1.探究新知

活动【课堂引入】

（课件展示）观看美丽的图案（如课本105页图片），提出问题：

（1）这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常见到的物体，你能从这些图案中找出正多边形吗？

（2）你知道正多边形和圆有关系吗？怎样作出一个正多边形呢？

师生活动：教师引导学生观察、思考，学生讨论、交流，发表各自见解. 教师关注：①学生能否从图案中找出正多边形；②学生能否从图案中发现正多边形和圆的关系. 创设情境，激发学生主动将圆的知识与正多边形联系起来，激发学生积极探索，调动学生学习积极性. 1.将结论问题1：将一个圆分为五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这由特殊推五边形一定是正多边形吗？如果是，请你证明这个结论. 广到一师生活动：教师演示作图并引导学生从正多边形的定义入手证明，引导学生观察、分析，教师指导学生完成证明过程. 教师在学生思考、交流的基础上板书证明过程：

般，符合学生的认知规律，并交给学生一种研究问题的方法. 2.教学中，使学生明确圆内正∴

五边形ABCDE是正五边形．

∵A、B、C、D、E在⊙O上，

∴五边形ABCDE是圆内接正五边形．

多边形必须满足各边相等，二：

如图，

∵ABBCCDDEEA，∴ABBCCDDEEA，

实践探究

交流新知

同理可证：ABCDE，

BADCAE3AB，∴

CD，

问题2：如果将圆n等分，依次连接各顶点得到一个n边形，这个n各角相等，培养边形一定是正n边形. 2

师生活动：学生思考，小组内交流、讨论，教师根据学生回答进行总学生严谨结. 正n边形. 正多边形呢？如果是为什么？请说明，不是，请说明理由. 师生活动：学生讨论，思考回答，教师进行总结讲解. 教师重点关注：

学生能否利用正多边形的定义进行判断；

等；

学生能否列举反例说明各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形. 2.应用新知

距等概念. 教师提出问题：

（1）正多边形的中心角怎么计算？

（2）边长a，半径R，边心距r有什么关系？

（3）正多边形的面积如何计算？

师生活动：学生在教师的引导下，结合图形，得到结论：

的态度和性. 生探索、归纳，教给学生等分圆周的其是尺规作正方形、正六教师重点关注：学生能否按照证明圆内接正五边形的方法证明圆内接思维批判问题3：各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接3.通过学学生能否由圆内接正多边形各边相等得到弦相等，及弦所对的弧相方法，尤活动一：教师演示课件，给出正多边形的中心、半径、中心角、边心边形．

a正n边形的中心角等于360°÷n，()2r2R2. 2活动二：提出问题：如何把一个圆进行n等分呢？

师生活动：学生小组内讨论，得到如果把中心角n等分则弧被n等分，即可得到正多边形. 教师引导分析：

①正方形的中心角为90°，说明两条半径互相垂直；

②正六边形的中心角为60°，说明半径和边长构成等边三角形；

活动开放训

【应用举例】

（课件展示）

六边形，求地基的周长和面积. 师生活动：教师引导学生画出图形，进行分析，完成例题的解答. 3 学生在教师的引导下，将正多边形的中心、半径、中心三：

例1：如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m的正

练

体现应用

教师总结：正六边形中由相邻的半径和边组成的三角形为等边三角角、边心形，所以半径与边相等，所以正六边形的周长为半径的6倍；正六边距等一些形的面积分割为六个全等的等边三角形，先求每个等边三角形的面积量集中在再乘以6即可. 【拓展提升】

（课件展示）

角形．

一个三角形中研究，可以定理进行例2：已知半径为R的⊙O，用多种工具、多种方法作出圆内接正三利用勾股师生活动：学生先独立解决问题,然后小组中讨论,鼓励学生勇于探索计算，进实践，而后再与同桌交流，上讲台演示，教师要重点关注学生的解题而能够求过程. 得正多边形的所有量，教师引导学生将实际问

方法一：

①用量角器画圆心角∠AOB=120°，∠BOC=120°；

②连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形；

方法二：

①用量角器画圆心角∠BOC=120°；

②在⊙O上用圆规截取弧AC=弧AB；

③连接AC，BC，AB，则△ABC为圆内接正三角形．

方法三：

①作直径AD；

②以O为圆心，以OA长为半径画弧，交⊙O于B，C；

③连接AB，BC，CA，则△ABC为圆内接正三角形．

方法四：

①作直径AE；

②分别以A，E为圆心，OA长为半径画弧与⊙O分别交于点D，F，B，C；

③连接AB，BC，CA（或连接EF，ED，DF），则△ABC（或△EFD）为圆内接正三角形．

题转化为数学问题，将多边形问题转化为三角形问题. 4

【达标测评】

1. 圆内接正六边形一边所对的圆周角是（

）

A.30°

B.60°

C.150°

D.30°或150°

达标测评2.若一个正多边形的每个内角的度数是中心角的3倍，则正多边形的是为了加深对所学边数是（

）

A.4

B.6

C.8

知

识的理解运用，D.12．

3.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的在问题的选择上以直径最小要____________cm．

4.有一个边长为1.5cm的正六边形，如果要剪一张圆形纸片完全盖住基础为主、疑难这个图形，那么这张圆形纸片的最小半径为___________cm．

5.如图，已知⊙O的两直径AB、CD互相垂直，弦MN垂直平分OB，点突出，交OB于点E；求证：MB与MC分别为该圆的内接正六边形和正十二增加开放边形的边长．

型、探究型问题，使学生思维得到拓展、能力

得以提升. 师生活动：学生进行当堂检测，完成后，教师进行个别提问，并指导学生解释做题理由和做题方法，使学生在个别思考解答的基础上，共同交流、形成共识、确定答案. 活动四：课堂总结反思

1.课堂总结：

（1）谈一谈你在本节课中有哪些收获？哪些进步？

（2）学习本节课后，还存在哪些困惑？

2.布置作业：

教材第108页，习题第1、2题；

【板书设计】

巩固、梳理所学知识.对学生进行鼓励、进行思想教育. 提纲挈领，重点突出

5

【教学反思】

①[授课流程反思] 课堂总结□

反思教学过程和教进一步提A.复习回顾□

B.创设情景□

C. 探究新知□

D.课堂训练

□

E. 师表现，在探究新知的过程中，使学生认识到事物之间是普遍联系的，是可以升操作流相互转化的，并培养和训练学生的综合运用知识的能力和解决实际问程和自身题的能鼓励，渗透数形结合的思想和方法. ②[讲授效果反思] A.重点□

B.难点

□

C.易错点

□

D. □

E. □

引导学生注意了这几点：（1）正多边形的相关概念；（2）正多边形中的相关计算；

③ [师生互动反思] 从学生课堂发言和表现来看，学生能够主动参与，亲身体验知识的发生和发展过程，学有所获，学有所张. ④ [练习反思] 好题题号检测第3、4题. 错题题号

素质. 6